\begin{propriete}[{\MotDefinition[Parallélisme et perpendicularité\protect\\ de plans]{Parallélisme et perpendicularité de plans}[Parallélisme et perpendicularité de plans]{}}]\label{TSG3_plans_paralleles}
\begin{itemize}
 \item Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l'un est un vecteur normal de l'autre.
 \item Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.25]
%P1
\draw[color=G2, fill=G4] (-6,-2)--(2,-2)--(6,2)--(-2,2)--cycle;
\draw[color=G1] (-6,0.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_1)$}};
\draw[color=G1, ->] (-2.5,-1)--(-2.5,3);
\draw[color=G1] (-2.5,3) node[left] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $\vv{n}$}};
%P2
\draw[color=H1prime, fill=H4] (0,0)--(8,0)--(12,4)--(4,4)--cycle;
\draw[color=H1, ->] (8.5,1.5)--(8.5,5.5);
\draw[color=H1] (1,3.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_2)$}};
\draw[color=H1] (8.5,5.5) node[left] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $\vv{n}$}};
%pointillés
\draw[color=G2, dashed] (2,2)--(6,2)--(4,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.25]
%P1
\draw[color=G2, fill=G4] (0,2)--(-2,2)--(-6,-2)--(0,-2); %gauche
\draw[color=G2, fill=G4] (0,-2)--(6,-2)--(10,2)--(4,2); %droite
\draw[color=G1] (-6,0.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_1)$}};
\draw[color=G1, ->] (6,-1)--(6,3);
\draw[color=G1] (6,3) node[right] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $\vv{n}_1$}};
%P2
\draw[color=H1prime, fill=H4] (4,-2)--(4,-3)--(0,-7)--(0,-2); %bas
\draw[color=H1prime, fill=H4] (0,-2)--(0,3)--(4,7)--(4,2); %hauts
\draw[color=H1] (0,5.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_2)$}};
\draw[color=H1, ->] (3,5)--(8,5);
\draw[color=H1] (8,5) node[right] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $\vv{n}_2$}};
%pointillés
\draw[color=G2, dashed] (0,2)--(4,2);
\draw[color=H1prime, dashed] (4,-2)--(4,2);
%droite d'intersection
\draw(-2,-4)--(6,4);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
\vspace{-1em}
\end{propriete}

\begin{preuve}
Pour le premier point, voir exercice \RefExercice{TSG3_plans_paralleles_demo} p. \pageref{TSG3_plans_paralleles_demo}.
\end{preuve}

\begin{exemple*1} On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
\begin{itemize}
 \item Soient $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vv{n}_1\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.\\
 $\vv{n}_1$ et $\vv{n}_2$ sont colinéaires : les plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ sont donc parallèles.
 
 \item Soient $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vv{n}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.\\
 $\vv{n}_1$ et $\vv{n}_2$ ne sont pas colinéaires : les plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ sont donc sécants, mais $\vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2 \neq 0$ donc $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ ne sont pas perpendiculaires.
\end{itemize}
\vspace{-1em}
\end{exemple*1}

\begin{remarque}\label{TSG3_remarque_plans_droites_ortho}
Soient $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$, deux plans perpendiculaires.\\
\parbox[b][7em][t]{0.68\textwidth}{Si $(d_1)$ est une droite de $(\mathscr{P}_1)$ et $(d_2)$ est une droite de $(\mathscr{P}_2)$, alors $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas nécessairement orthogonales.\\Ci-contre, deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ parallèles.\\Voir exercice \RefExercice{TSG3_remarque_plans_droites_ortho_exo} p. \pageref{TSG3_remarque_plans_droites_ortho_exo}.}
\parbox[b][7em][t]{0.3\textwidth}{\vspace{-1em}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.2]
%P1
\draw[color=G2, fill=G4] (0,2)--(-2,2)--(-6,-2)--(0,-2); %gauche
\draw[color=G2, fill=G4] (0,-2)--(6,-2)--(10,2)--(4,2); %droite
\draw[color=G1] (-6,0.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_1)$}};
%P2
\draw[color=H1prime, fill=H4] (4,-2)--(4,-3)--(0,-7)--(0,-2); %bas
\draw[color=H1prime, fill=H4] (0,-2)--(0,3)--(4,7)--(4,2); %hauts
\draw[color=H1] (0,5.3) node {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(\mathscr{P}_2)$}};
%pointillés
\draw[color=G2, dashed] (0,2)--(4,2);
\draw[color=H1prime, dashed] (4,-2)--(4,2);
%droite d'intersection
\draw(-2,-4)--(6,4);
%d1 et d2
\draw[color=C1] (2,-3)--(8,3);
\draw[color=C1] (8,3) node[right] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(d_1)$}};
\draw[color=C1] (-1,0)--(5,6);
\draw[color=C1] (5,6) node[right] {\fontsize{8.5}{9}\selectfont{\boldmath $(d_2)$}};
\end{tikzpicture}}
\end{remarque}

