\begin{propriete}
Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan alors c'est un vecteur normal à ce plan.
\end{propriete}
\begin{preuve}
Soient $(\mathscr{P})$ un plan, $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non colinéaires de ce plan auxquels est orthogonal un vecteur non nul $\vv{n}$. Montrons que $\vv{n}$ est orthogonal à tout vecteur de $(\mathscr{P})$.\\
Ramenons $\vv{u}$ et $\vv{v}$ à une même origine $A$ : $(A\,; \vv{u}, \vv{v})$ est alors un repère de $\mathscr{P}$ et tout vecteur $\vv{w}$ peut s'écrire $\vv{w} = \alpha \vv{u} + \beta \vv{v}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels. Ainsi, $\vv{w} \cdot \vv{n} = \alpha \vv{u} \cdot \vv{n} + \beta \vv{v} \cdot \vv{n} = 0$.
\end{preuve}
\begin{exemple*1}
Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $a>0$.\\
\parbox[b][8em][t]{0.69\textwidth}{\vspace{0.5em}Les faces $ABFE$ et $BCGF$ étant des carrés, le vecteur $\vv{FB}$ est orthogonal aux vecteurs $\vv{BA}$ et $\vv{BC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Ainsi, $\vv{FB}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. On peut aussi dire que la droite $(FB)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.}
\parbox[b][8em][t]{0.28\textwidth}{
	\vspace{-2em}
	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
 	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=1.5]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	}
\end{exemple*1}

\begin{exemple*1}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les points $A(1\,; 1\,; 1)$ et $B(-2\,; 0\,; 2)$ ainsi que les vecteurs $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vv{v}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$.\\
$\vv{u}$ et $\vv{v}$ ne sont pas colinéaires donc on peut définir le plan $(\mathscr{P})$ engendré par $A$, $\vv{u}$ et $\vv{v}$.\\
De plus, $\vv{AB}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vv{u}$ et $\vv{v}$ donc $\vv{AB}$ est un vecteur normal au plan $(\mathscr{P})$.
\end{exemple*1}

