\begin{propriete}[Propriétés algébriques]
Soient $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ trois vecteurs et $\lambda$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
 \item $\vv{u} \cdot ( \vv{v} + \vv{w}) = \vv{u} \cdot \vv{v} + \vv{u} \cdot \vv{w}$
 \item $\vv{u} \cdot (\lambda \vv{v}) = \lambda(\vv{u} \cdot \vv{v})$
 \item $(\vv{u} + \vv{v})^2 = \vv{u}^2 + 2\vv{u} \cdot \vv{v} + \vv{v}^2$
 	\qquad et \qquad
 	$(\vv{u} - \vv{v})^2 = \vv{u}^2 - 2\vv{u} \cdot \vv{v} + \vv{v}^2$
 \item $(\vv{u} + \vv{v}) \cdot (\vv{u} - \vv{v}) = \vv{u}^2 - \vv{v}^2$
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{remarque}
Seul le premier point recquiert réellement une démonstration. En effet, ce produit scalaire fait intervenir trois vecteurs et ne peut donc pas, dans le cas général, être considéré dans un seul et même plan.
\end{remarque}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
 \item Pour le premier point, on exprime analytiquement le membre de gauche et le membre de droite puis on compare les expressions obtenues.
 \item Pour les trois derniers points, on se place dans le plan engendré par $\vv{u}$ et $\vv{v}$, où l'on utilise les propriétés établies dans le plan en Première S. Plus particulièrement, l'avant-dernier point provient des formules avec les carrés scalaires.
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
On se place dans le cube $ABCDEFGH$ comme décrit dans la méthode précédente.\\
$\vv{IB} \cdot \vv{ID} = \left( \dfrac{1}{2}\vv{HF} + \vv{FB} \right)
							\cdot
						\left( \dfrac{1}{2}\vv{FH} + \vv{HD} \right)
						= \left(\vv{FB} + \dfrac{1}{2}\vv{HF} \right)
							\cdot
						\left(\vv{FB} - \dfrac{1}{2}\vv{HF} \right)
						= \vv{FB}^2 - \dfrac{1}{4}\vv{HF}^2$.
Comme $FB = 1$ et que $HF = \sqrt{2}$, on en déduit que $\vv{IB} \cdot \vv{ID} = 1 - \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{2}$.
\end{exemple*1}

