\begin{propriete}[{\MotDefinition[Expression analytique du\protect\\ produit scalaire]{Expression analytique du produit scalaire}[Expression analytique du produit scalaire]{}}]\label{TSG3_expression_analytique_ps}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vv{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vv{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$.
Alors $\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $\vv{u} \cdot \vv{v} = xx' + yy' + zz'$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
Voir exercice \RefExercice{TSG3_expression_analytique_ps_demo} p. \pageref{TSG3_expression_analytique_ps_demo}.
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
Dans un repère orthonormé, soient $(d_1)$ et $(d_2)$ deux droites de représentations\linebreak paramétriques $\left\lbrace
			\begin{array}{ccl}
				x & = & 1 + t\\
				y & = & 2 + 2t\\
				z & = & -5 - 7t
			\end{array},
		\right.
		\; t \in \mathbb{R}$ et
		$\left\lbrace
			\begin{array}{ccl}
				x & = & 5 - t\\
				y & = & -1 + 4t\\
				z & = & t
			\end{array},
                      \right.
                      \; t \in \mathbb{R}$.\\
                      Les vecteurs $\vv{u}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}$ et
                      $\vv{u}_2\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, qui dirigent respectivement $(d_1)$ et $(d_2)$ sont orthogonaux puisque ${\vv{u}_1 \cdot \vv{u}_2 = -1 + 8 - 7 = 0}$. Ainsi, $(d_1)$ et $(d_2)$ sont orthogonales.
\end{exemple*1}

