\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - 2015)]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on\linebreak considère :
\begin{itemize}
 \item les points $A(0\,; 1\, ;-1)$ et $B(-2\,; 2\, ;-1)$ ;
 \item la droite $(d)$ de représentation paramétrique :
 \[
	\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x & = & -2 + t\\
			y & = & 1 + t\\
			z & = & -1 - t
		\end{array},
	\right.
	\; t \in \mathbb{R}.
\]
\end{itemize}
On note $M$ un point appartenant à $(d)$, de coordonnées $(-2+u\,; 1+u\,; -1-u)$, où $u$ est un réel.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas parallèles.
  \item Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas sécantes.
 \end{enumerate}
 
 \item Vérifier que le plan $(\mathscr{P})$ d'équation :\\
 \centerline{$x+y-z-3u=0$}\\
 est orthogonal à la droite $(d)$ et passe par le point $M$.
 
 \item Montrer que le plan $(\mathscr{P})$ et la droite $(AB)$ sont sécants en un point $N$ de coordonnées :\\
 \centerline{$(-4+6u\,; 3-3u\,; -1)$.}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$.
  \item Existe-t-il une valeur du réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ?
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
  \item En déduire la valeur de $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale et donner cette valeur minimale.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
