\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2015)]
Soit $SABDE$ une pyramide à base carrée $ABDE$ de centre $O$. On note $C$ le point de l'espace tel que $(O\,; \vv{OA}, \vv{OB}, \vv{OC})$ soit un repère orthonormé. Dans ce repère, soit $S$ le point de coordonnées $(0\,; 0\,; 3)$.

\begin{center}
	\def \dx {-0.4}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=1.5]
	%points
	\coordinate (E) at (0,0); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (A) at (\dx,-0.5); \draw (A) node[below left] {$A$};
	\coordinate (B) at (1+\dx,-0.5); \draw (B) node[below] {$B$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (O) at (0.5+\dx/2,-0.25); \draw (O) node[above right] {$O$};
	\coordinate (C) at (0.5+\dx/2,0.3); \draw (C) node[above] {$C$};
	\coordinate (S) at (0.5+\dx/2,2); \draw (S) node[above] {$S$};
	%vecteurs
	\draw[->] (O)--(A);
	\draw[->] (O)--(B);
	\draw[->] (O)--(C);
	%arêtes
	\draw (S)--(A)--(B)--(S)--(D)--(B);
	\draw[dashed] (S)--(E)--(A); \draw[dashed] (E)--(D);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\partie[]
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
 \item Soit $U$ le point de la droite $(SB)$ de cote 1. Construire $U$ et démontrer que $U\left(0\,; \dfrac{2}{3}\,;1 \right)$.
 \item Soit $V$ le point d'intersection du plan $(AEU)$ et de la droite $(SD)$. Démontrer que les droites $(UV)$ et $(BD)$ sont parallèles.\\Construire $V$ et déterminer ses coordonnées.
 \item Soit $K\left( \dfrac{5}{6}\,; -\dfrac{1}{6}\,; 0 \right)$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $K$ est le pied de la hauteur issue de $U$ du trapèze $AUVE$.
  \item Démonter que l'aire de ce trapèze est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[]
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que le plan $(EAU)$ a pour équation ${3x-3y+5z-3=0}$.
 \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$, orthogonale au plan $(EAU)$ et passant par $S$.
 \item Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $(d)$ et du plan $(EAU)$.
 \item Le plan $(EAU)$ partage la pyramide $SABDE$ en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
