\begin{exercice}[D'après Bac (Pondichéry - 2015)]
Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête 1.

\begin{center}
	\def \dx {-0.4}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (D) at (0,0); \draw (D) node[above left] {$D$};
	\coordinate (A) at (\dx,-0.5); \draw (A) node[below left] {$A$};
	\coordinate (B) at (1+\dx,-0.5); \draw (B) node[below] {$B$};
	\coordinate (C) at (1,0); \draw (C) node[right] {$C$};
	\coordinate (H) at (0,1); \draw (H) node[above left] {$H$};
	\coordinate (E) at (\dx,0.5); \draw (E) node[left] {$E$};
	\coordinate (F) at (1+\dx,0.5); \draw (F) node[right] {$F$};
	\coordinate (G) at (1,1); \draw (G) node[above right] {$G$};
	%arêtes
	\draw (E)--(A)--(B)--(C)--(G)--(F)--(B); \draw (F)--(E)--(H)--(G);
	\draw[dashed] (D)--(A); \draw[dashed] (D)--(C); \draw[dashed] (D)--(H);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans le repère $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$, on considère les points $M\left(1\,; 1\,; \dfrac{3}{4} \right)$, $N\left(0\,; \dfrac{1}{2}\,; 1 \right)$ et $P\left(1\,; 0\,; -\dfrac{5}{4} \right)$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Reproduire la figure et placer les point $M$, $N$ et $P$.
 \item Démontrer que ces points ne sont pas alignés.
 \end{enumerate}
 
 \item Démontrer que le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vv{n}$, normal au plan $(MNP)$.
  \item En déduire une équation cartésienne de ce plan.
  \item Soit $(\Delta)$ la droite passant par $F$ et de vecteur\linebreak directeur $\vv{n}$. Donner une équation paramétrique\linebreak de $(\Delta)$.
  \item Soit $K$ le point d'intersection de $(MNP)$ et $(\Delta)$. Démontrer que $K\left( \dfrac{4}{7}\,; \dfrac{24}{35}\,; \dfrac{23}{35} \right)$.
  \item En déduire le volume du tétraèdre $FMNP$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
