\begin{methode*1}[Déterminer, si elle existe, l'\MotDefinition{intersection de deux plans}{}
						\MethodeRefExercice*{TSG3_E_inter_plan_plan}]
 Soient $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vv{n}_1$ et $\vv{n}_2$.
 \begin{enumerate}
  \item Tester le parallélisme de $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ en testant la colinéarité de $\vv{n}_1$ et $\vv{n}_2$.
  \item Si les plan ne sont pas parallèles :
  \begin{enumerate}
   \item écrire le système composé des équations décrivant $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ ;
   \item choisir une des coordonnées comme paramètre ;
   \item en déduire une représentation paramétrique de la droite d'intersection.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \exercice\label{TSG3_M_inter_plan_plan}\hfill\\
 Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ d'équations respectives $x+2y+z-1=0$ et $2x-3y-z+2=0$.\\
 Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection entre $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$.
 
 \correction\hfill\\
 $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ ont pour vecteurs normaux respectifs $\vv{n}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Ils ne sont pas colinéaires donc $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ se coupent selon une droite $(d)$. Un point $M$ appartient à $(d)$ si et seulement si ses coordonnées $(x\,; y\,; z)$ vérifient le système :
 \[
 	\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x+2y+z-1 & = & 0\\
			2x-3y-z+2 & = & 0\\
		\end{array}
	\right.
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x+2y+z-1 & = & 0\\
			3x-y+1 & = & 0\\
		\end{array}
	\right.}
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			y & = & 3x+1\\
			z & = & 1-x-2y = -7x-1\\
		\end{array}
	\right.}
 \]
 
 On peut vérifier à l'aide d'un logiciel de calcul formel (ici Xcas en ligne) :
 \vspace{0.5em}
 \begin{center}
 	\includegraphics[scale=0.6]{cours_resolution_systeme_xcas.eps}
 \end{center}
 
 Ainsi, les coordonnées de $M$ sont de la forme $(x\,; 3x+1\,; -7x-1)$, $x \in \mathbb{R}$ et donc, en choisissant $x$ comme paramètre, on obtient une représentation paramétrique de $(d)$ :
 \[\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				x & = & t\\
				y & = & 1+3t\\
				z & = & -1-7t
			\end{array},
		\right.
		\; t \in \mathbb{R}.\]

 \exercice\hfill\\
 Même consigne avec les plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ d'équations respectives ${2x-4y+3z-5=0}$ et $-4x+8y-6z+10=0$.
 
 \correction\hfill\\
 En reprenant les mêmes notations, $\vv{n}_1\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}$ sont colinéaires donc les plans sont parallèles. Comme les deux équations sont équivalentes, on en déduit que $(\mathscr{P}_1) = (\mathscr{P}_2)$.
\end{methode*1}
