\begin{methode*1}[Déterminer, si elle existe, l'\MotDefinition{intersection d'une droite et d'un plan}{}\MethodeRefExercice*{TSG3_E_inter_droite_plan}]
 Soient $(d)$ une droite dirigée par $\vv{u}$ et $(\mathscr{P})$ un plan de vecteur normal $\vv{n}$.
 \begin{enumerate}
  \item Tester le parallélisme de $(d)$ et $(\mathscr{P})$ en calculant $\vv{u} \cdot \vv{n}$ :
  \begin{enumerate}
   \item si $\vv{u} \cdot \vv{n} = 0$, alors $(d)$ est parallèle, strictement ou non, à $(\mathscr{P})$ ;
   \item si $\vv{u} \cdot \vv{n} \neq 0$, alors $(d)$ et $(\mathscr{P})$ se coupent en un point $M$.
  \end{enumerate}
  \item Si l'intersection existe, résoudre le système composé des équations décrivant $(d)$ et $(\mathscr{P})$ afin de calculer les coordonnées de $M$.
 \end{enumerate}
 
 \exercice \label{TSG3_M_inter_droite_plan}
 Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique 
 $ \left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				x & = & 1 - t\\
				y & = & 2t\\
				z & = & 5
			\end{array},
		\right.
		\; t \in \mathbb{R}$\\et le plan $(\mathscr{P})$ d'équation cartésienne $3x+z+7=0$.\\
 Déterminer, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et de $(\mathscr{P})$.
 
 \correction
 Un vecteur directeur de $(d)$ et un vecteur normal de $(\mathscr{P})$ sont respectivement $\vv{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Ainsi, $\vv{u} \cdot \vv{n} = -3$ donc $(d)$ et $(\mathscr{P})$ se coupent en un point $M$ dont les coordonnées $(x\,; y\,; z)$ satisfont le système :
 \[
 	\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			x & = & 1 - t\\
			y & = & 2t\\
			z & = & 5\\
			3x+z+7 & = & 0
		\end{array}
	\right.
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			x & = & 1 - t\\
			y & = & 2t\\
			z & = & 5\\
			3(1-t)+5+7 & = & 0
		\end{array}
	\right.}
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			t & = & 5\\
			x & = & -4\\
			y & = & 10\\
			z & = & 5\\
		\end{array}
	\right.}
 \]
 Ainsi, $M(-4\,; 10\,; 5)$.
 
 \exercice
 Même consigne avec la droite $(d) : \left\lbrace
								\begin{array}{ccc}
									x & = & 1 - t\\
									y & = & 2 - 2t\\
									z & = & 3 + 5t
								\end{array},
							\right.\; t \in \mathbb{R}$\\et le plan $(\mathscr{P}) : -6x - 2y - 2z + 1 = 0$.
 
 \correction
 Avec les mêmes notations que précédemment, $\vv{u}\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vv{u} \cdot \vv{n} = 0$ donc $(d)$ et $(\mathscr{P})$ sont parallèles. De plus, le point $A(1\,; 2\,; 3)$ par lequel passe $(d)$ n'appartient pas à $(\mathscr{P})$ donc $(d)$ et $(\mathscr{P})$ sont strictement parallèles.
\end{methode*1}

