\begin{methode*1}[Déterminer une équation cartésienne d'un plan (cas général)
						\MethodeRefExercice*{TSG3_E_eq_plan_trois_points}]
 Dans le cas où l'on donne trois points $A$, $B$ et $C$ pour définir un plan $(\mathscr{P})$ :
 \begin{enumerate}
  \item s'assurer que le plan $(\mathscr{P})$ est bien défini en montrant que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés ;
  \item déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à $(\mathscr{P})$ ;
  \item en déduire une équation cartésienne de $(\mathscr{P})$ en se référant à la méthode précédente.
 \end{enumerate}
 
 \exercice\label{TSG3_M_eq_plan_trois_points}
 Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les points $A(0\,; 1\,; 1)$, $B(-4\,; 2\,; 3)$ et $C(4\,; -1\,; 1)$.\\
 Déterminer, s'il existe, une équation cartésienne du plan $(\mathscr{P})$ défini par ces trois points.
 
 \correction
 On commence par calculer les coordonnées de $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ : $\vv{AB}\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vv{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles et donc les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ ne sont pas colinéaires et ainsi, les trois points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan $(\mathscr{P})$.\\
 On note $\vv{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur normal à $(\mathscr{P})$. Alors $\vv{n} \cdot \vv{AB} = 0$ et $\vv{n} \cdot \vv{AC} = 0$, ce qui donne les équations $-4a+b+2c = 0$ et $4a-2b = 0$, d'où le système équivalent :
 \[
	\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				-8a+2b+4c & = & 0\\
				4a-2b & = & 0
			\end{array}
	\right.
	\iff
	{\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				-4a+4c & = & 0\\
				4a-2b & = & 0
			\end{array}
	\right.}
	\iff
	{\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				a & = & c\\
				b & = & 2a
			\end{array}
	\right.}
 \]
 Les coordonnées de $\vv{n}$ sont donc de la forme $\begin{pmatrix} a \\ 2a \\ a \end{pmatrix}$, $a \in \mathbb{R}^{*}$. Avec $a=1$, on obtient $\vv{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.\\
 Ainsi, $(\mathscr{P}) : x+2y+z+d=0$ où $d$ est un réel qu'il reste à déterminer.\\
 L'appartenance du point $A$ à $(\mathscr{P})$ donne $d=-3$ et donc $(\mathscr{P}) : x+2y+z-3=0$.
\end{methode*1}

\begin{exemple*1}
On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$.\\
\parbox[b][10em][t]{0.69\textwidth}{\vspace{0.5em} Dans ce repère on considère les points $I(1\,; 0\,; 0)$, $J(0\,; 1\,; 0)$ et $K(0\,; 0\,; 1)$. Le plan $(IJK)$ a pour équation $x+y+z-1=0$ et admet pour vecteur normal $\vv{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.}
\parbox[b][10em][t]{0.28\textwidth}{\vspace{-5em}\hspace*{5mm}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
 	\begin{flushright}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2.5,font=\fontsize{8.5}{9}\selectfont]
	%points
	\coordinate (O) at (0,0); \draw (O) node[below right] {$O$};
	\coordinate (J) at (1,0); \draw (J) node[right] {$J$};
	\coordinate (I) at (\dx,-0.5); \draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (K) at (0,1); \draw (K) node[above] {$K$};
	\coordinate (P) at ({(1+\dx)/2},0.375); \draw (P) node {$\times$};
	\coordinate (Q) at ({(1+\dx)*3/2},0.875);
	%vecteurs
	\draw[very thick, ->] (O)--(I);
	\draw[very thick, ->] (O)--(J);
	\draw[very thick, ->] (O)--(K);
	\draw[very thick, ->, color=B1] (P)--(Q);
	\draw[color=B1] (Q) node[above left] {$\vv{n}$};
	%noms des vecteurs
	\draw (\dx/2,-0.25) node[above left] {$\vv{i}$};
	\draw (0.5,0) node[above] {$\vv{j}$};
	\draw (0,0.5) node[left] {$\vv{k}$};
	%(IJK)
	\fill[color=A1,opacity=0.3] (I)--(J)--(K);
	\end{tikzpicture}
 	\end{flushright}}
\end{exemple*1}


