\begin{methode*1}[Démontrer une orthogonalité
						\MethodeRefExercice*{TSG3_E_orthogonalite}]
 
 \exercice\label{TSG3_M_orthogonalite}
 Soit $ABCDEFGH$, un cube d'arête 1.\\
 \parbox[b][1.5em][t]{0.58\textwidth}{\vspace{0.5em} Démontrons que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ACH)$.}
 \parbox[b][1.5em][t]{0.26\textwidth}{\vspace{-1em}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
 	\begin{flushright}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%(FD)
	\draw[thin, color=C1, dashed] (F)--(D);
	%(ACH)
	\fill[color=A1,opacity=0.3] (A)--(C)--(H);
	\end{tikzpicture}
 	\end{flushright}}

      \vspace{2mm}

 \correction
 Il suffit de prouver que $\vv{FD}$ est orthogonal à deux\\
 vecteurs non colinéaires du plan $(ACH)$, par exemple $\vv{AC}$\\
 et $\vv{HC}$. Démontrer alors que $\vv{FD} \cdot \vv{AC} = \vv{FD} \cdot \vv{HC} = 0$.\\
 Calculons le premier produit scalaire en utilisant les\\
 propriétés algébriques et le second analytiquement :
 \vspace{0.2em}
 \begin{itemize}
  \item $\vv{FD} \cdot \vv{AC} = (\vv{FB}+\vv{BD}) \cdot \vv{AC} = \vv{FB} \cdot \vv{AC} + \vv{BD} \cdot \vv{AC}$.\\
  D'une part, et d'après l'exemple précédent, $\vv{FB}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ donc il est orthogonal à tout vecteur à ce plan, en particulier à $\vv{AC}$. Ainsi, $\vv{FB} \cdot \vv{AC} = 0$.\\
  D'autre part, $\vv{BD} \cdot \vv{AC} = 0$ car $[BD]$ et $[AC]$ sont les diagonales du carré $ABCD$.\\
  On en conclut que $\vv{FD} \cdot \vv{AC} = 0$.
  
  \item En se plaçant dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$, on a $C(1\,; 1\,; 0)$, $D(0\,; 1\,; 0)$, $F(1\,; 0\,; 1)$ et $H(0\,; 1\,; 1)$ et ainsi, $\vv{FD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vv{HC}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.\\Par conséquent, $\vv{FD} \cdot \vv{HC} = -1 + 0 + 1 = 0$.
 \end{itemize}
 \vspace{-1.2em}
\end{methode*1}

