\begin{methode*1}[Calculer la mesure d'un angle
						\MethodeRefExercice*{TSG3_E_calcul_angle}]
 Pour calculer un angle géométrique formé par deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$, on exprime $\vv{u} \cdot \vv{v}$ de deux façons différentes : l'une permettant d'obtenir la valeur du produit scalaire, l'autre faisant intervenir l'angle.
 
 \exercice\label{TSG3_M_calcul_angle}
 Soit $ABCDEFGH$, un cube de côté 1 et $I$ le centre de la face $EFGH$.\\
 \parbox[b][5em][t]{0.58\textwidth}{\vspace{0.5em} On se place dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$.\\Déterminer, au degré près, les mesures des angles :
 \begin{colenumerate}{2}
  \item $\alpha = \widehat{IBF}$
  \item $\beta = \widehat{BID}$
 \end{colenumerate}}
 \parbox[b][5em][t]{0.26\textwidth}{
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
 	\begin{flushright}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above right] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at ({(1+\dx)/2},0.75); \draw (I) node[above] {$I$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	\draw[thin] (E)--(G); \draw[thin] (F)--(H);
	%(BI) et (ID)
	\draw[thin, color=C1, dashed] (B)--(I); \draw[thin, color=C1, dashed] (D)--(I);
	%angles
	\fill[color=A1,opacity=0.3,domain=60:90] (B)
						--plot ({\dx+\r*cos(\x)}, {-0.5+\r*sin(\x)})
						--cycle;
	\fill[color=A1,opacity=0.3,domain=240:320] (I)
						--plot ({(1+\dx)/2+\r*cos(\x)}, {0.75+\r*sin(\x)})
						--cycle;
	\draw[color=A1](-0.3,-0.1) node {{\boldmath $\alpha$}};
	\draw[color=A1]({(1+\dx)/2},0.3) node {{\boldmath $\beta$}};
	\end{tikzpicture}
 	\end{flushright}}
 \correction
 \begin{enumerate}
  \item $\vv{BF} \cdot \vv{BI} = \vv{BF} \cdot \vv{BF}$ car $\vv{BF}$ est le projeté orthogonal de $\vv{BI}$\\sur $(BF)$. Ainsi, $\vv{BI} \cdot \vv{BF} = 1$.\\
  D'autre part, $\vv{BF} \cdot \vv{BI} = BF \times BI \times \cos (\alpha) = BI \times \cos (\alpha)$.\\De plus, $B(1\,; 0\,; 0)$ et $I\left(\dfrac{1}{2}\,; \dfrac{1}{2}\, ;1\right)$ donc $BI = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$.\\Ainsi, $\sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \cos (\alpha) = 1$ et donc $\cos (\alpha) = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. On en déduit alors que $\alpha \approx 35$°.
  
  \item $\vv{IB}\begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,5 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vv{ID}\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ -1 \end{pmatrix}$ donc $\vv{IB} \cdot \vv{ID} = -0,25 - 0,25 + 1 = 0,5 = \dfrac{1}{2}$.\\
  D'autre part, $\vv{IB} \cdot \vv{ID} = IB \times ID \times \cos (\beta) = \sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \sqrt{\dfrac{3}{2}} \times \cos (\beta) = \dfrac{3}{2}\cos (\beta)$. Par conséquent, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\cos (\beta)$, et donc $\cos (\beta) = \dfrac{1}{3}$. On en déduit alors que $\beta \approx 71$°.
 \end{enumerate}
\end{methode*1}

