\begin{definition}
Le \MotDefinition{produit scalaire}{} de deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ dans l'espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant.
\end{definition}

\begin{remarque}
La définition donnée et les propriétés établies en classe de Première S dans le plan sont donc aussi valables dans l'espace. À savoir :
\begin{itemize}
 \item $\vv{u} \cdot \vv{v}
 		= \left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{} \times  \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{} \times \cos (\vv{u},\vv{v})
 		= \vv{v} \cdot \vv{u}$, lorsque $\vv{u} \neq \vv{0}$ et $\vv{v} \neq \vv{0}$.
 \vspace{0.5em}
 
 \item $\vv{u} \cdot \vv{v} = 0 \Longleftrightarrow \vv{u} = \vv{0}$ ou $\vv{v} = \vv{0}$ ou $(\vv{u}\,,\vv{v}) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.\\
 Dans ce cas, on dit que les vecteurs sont orthogonaux.
 \vspace{0.5em}
 
 \item $\vv{u} \cdot \vv{v} = \vv{u} \cdot \vv{v}_1$ où $\vv{v}_1$ est le projeté orthogonal de $\vv{v}$ sur une droite dirigée par $\vv{u}$.
 \vspace{0.5em}
 
 \item $\vv{u} \cdot \vv{v} = \dfrac{1}{2} \left(
 			\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2 + \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2
 			- \left\Vert{}\vv{u} - \vv{v}\right\Vert{}^2
 											\right)$ et 
 	   $\vv{u} \cdot \vv{v} = \dfrac{1}{2} \left(
 			\left\Vert{}\vv{u} + \vv{v}\right\Vert{}^2
 			- \left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2
 			- \left\Vert{}\vv{v}\right\Vert{}^2
 											\right)$.
                                                                                      \item $\vv{AB} \cdot \vv{AC}	= AB \times  AC \times \cos (\widehat{BAC})$, où $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts du plan.
\end{itemize}
\end{remarque}

