\begin{exercice}[Parallélisme de plans, p. \pageref{TSG3_plans_paralleles}] \label{TSG3_plans_paralleles_demo}
Démontrons que deux plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ sont parallèles si et seulement un vecteur normal de l'un est un vecteur normal de l'autre.
\begin{enumerate}
 \item Supposons que les deux plans ont un même vecteur normal $\vv{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et démontrons qu'ils sont parallèles.\\
 Notons $ax+by+cz+d=0$ l'équation de $(\mathscr{P}_1)$ ainsi que $ax+by+cz+\delta=0$ celle de $(\mathscr{P}_2)$ et intéressons-nous au système composé de ces deux équations, permettant d'obtenir l'intersection des deux plans. 
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que ce système est équivalent au système suivant :
  \[\left\lbrace
			\begin{array}{rcc}
				ax+by+cz+d & = & 0\\
				d-\delta & = & 0
			\end{array}
		\right.\]
  \item Si $d=\delta$, que peut-on dire de l'ensemble des solutions du système ? Conclure.
  \item Même question lorsque $d\neq \delta$.
 \end{enumerate}
 
 \item Réciproquement, supposons que $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ sont parallèles et démontrons qu'ils ont même vecteur normal.
 Le cas où $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ sont confondus amenant une conclusion évidente, traitons le cas où les deux plans sont strictement parallèles. On note $\vv{n}_1\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$ deux vecteurs normaux respectifs de $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$.
 \begin{enumerate}
  \item En raisonnant par l'absurde, démontrer que $(a\,;\alpha) \neq (0\,;0)$ ou $(b\,;\beta) \neq (0\,;0)$ ou $(c\,;\gamma) \neq (0\,;0)$.
  \item Admettons que $(a\,;\alpha) \neq (0\,;0)$ (la démonstration est identique dans les autres cas) et admettons que $a \neq 0$. En considérant le système composé des équations des deux plans, démontrer que $\alpha \neq 0$.
  \item Démontrer que ce système est équivalent au\linebreak système :
  \[\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				ax+by+cz+d & = & 0\\
				y(\alpha b-a\beta) + z(\alpha c-a\gamma) + (\alpha D-a\delta) & = & 0
			\end{array}
		\right.\]
  \item Justifier que $\alpha b-a\beta = 0$ et $\alpha c-a\gamma = 0$.
  \item En déduire que $\vv{n}_1$ et $\vv{n}_2$ sont colinéaires et donner le coefficient de colinéarité.
  \item Conclure.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

