\begin{exercice}[Expression analytique du produit scalaire, p.~\pageref{TSG3_expression_analytique_ps}] \label{TSG3_expression_analytique_ps_demo}
Soient $\vv{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ et $\vv{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$.\\
Notons $M$ le point de l'espace tel que $\vv{OM} = \vv{u}$ et $m$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(\mathscr{P})$ engendré par le point $O$ et les vecteurs $\vv{i}$ et $\vv{j}$.

\begin{center}
	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=1]
	%points
	\coordinate (O) at (0,0); \draw (O) node[above left] {$O$};
	\coordinate (J) at (1,0);
	\coordinate (I) at (\dx,-0.5);
	\coordinate (K) at (0,1);
	\coordinate (m) at (1.8,-1); \draw (m) node[below] {$m$};
	\coordinate (M) at (1.8,1.5); \draw (M) node[above right] {$M$};
	%vecteurs
	\draw[very thick, ->] (O)--(I);
	\draw[very thick, ->] (O)--(J);
	\draw[very thick, ->] (O)--(K);
	%noms des vecteurs
	\draw (I) node[below right] {$\vv{i}$};
	\draw (J) node[above] {$\vv{j}$};
	\draw (K) node[left] {$\vv{k}$};
	%segments
	\draw[thin, dashed] (O)--(m);
		\draw[thin, dashed] (m)--(1.8-2*\dx,0);
		\draw[thin, dashed] (2*\dx,-1)--(m);
		\draw[thin, dashed] (0,2.5)--(M);
	\draw[color=G1, dashed] (m)--(M);
	\draw[thick, color=F1, ->] (O)--(M);
	%prolongement des axes
	\draw[thin] (-1,0)--(3,0);
	\draw[thin] (-\dx,0.5)--(2.5*\dx,-1.25);
	\draw[thin] (0,-0.5)--(0,3);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Montrons que $\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
 \begin{enumerate}
  \item Pourquoi peut-on appliquer le théorème de\linebreak Pythagore dans le triangle $OmM$ ?
  \item Quelles sont les coordonnées du point $m$ dans le plan $(\mathscr{P})$ ? En déduire une expression de $Om^2$ en fonction de $x$ et $y$.
  \item Exprimer $mM$ en fonction de $z$.
  \item En déduire une expression de $OM^2$ en fonction de $x$, $y$ et $z$ et conclure.
 \end{enumerate}
 
 \item Montrons que $\vv{u} \cdot \vv{v} = xx' + yy' + zz'$.\\
 À l'aide d'une des deux formules donnant le produit scalaire en fonction des normes, démontrer l'égalité demandée.
\end{enumerate}
\end{exercice}
