\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSG3_M_inter_plan_plan}\label{TSG3_E_inter_plan_plan}]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les plans $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ d'équations cartésiennes respectives :\\
\centerline{$x+y+2z-3=0$ \quad et \quad $-x+4y-5z+6=0$.}\\
 Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection entre $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$.
\end{exercice*}
\begin{corrige}
$\vv{n}_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vv{n}_2\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $(\mathscr{P}_1)$ et $(\mathscr{P}_2)$ se coupent selon une droite $(d)$. On résout :
\[
	\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x  + y  + 2z -3 & = & 0\\
			-x + 4y - 5z +6 & = & 0\\
		\end{array}
	\right.
\]
\[
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x+y+2z-3 & = & 0\\
			5y-3z+3 & = & 0\\
		\end{array}
	\right.}
\]
Ainsi, $z = 1 + \dfrac{5}{3}y$ et $x = 1 - \dfrac{13}{3}y$ et donc
$(d)$ : $\left\lbrace
			\begin{array}{ccl}
				x & = & 1 - \dfrac{13}{3}t\\
				y & = & t\\
				z & = & 1 + \dfrac{5}{3}t
			\end{array},
		\right.
		\; t \in \mathbb{R}$.
\end{corrige}
