\begin{exercice}[Distance d'un point à un plan] \label{TSG3_E_distance_point_plan}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère un plan $(\mathscr{P})$ et un point $A$.\\
Soit $M$ un point appartenant à $(\mathscr{P})$. Le but de l'exercice est de déterminer la longueur minimale de $[AM]$ ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette longueur minimale.

\begin{cadre}[A1][A4]
La distance d'un point $A$ à un plan $(\mathscr{P})$ est la plus petite distance $AM$ lorsque $M$ parcourt $(\mathscr{P})$.
\end{cadre}

\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
 \item Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(\mathscr{P})$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma.
  \item De quelle droite et de quel plan le point $H$ est-il l'intersection ?
  \item Démontrer que si $M$ est un point de $(\mathscr{P})$ différent de $H$, alors $AM > AH$.\\
 La distance de $A$ à $(\mathscr{P})$ est donc la distance $AH$.
 \end{enumerate}
 \item Soit $(\mathscr{P}) : x-2y-2z-31=0$ et $A(2\,; 1\,; -2)$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner un vecteur directeur de $(AH)$.
  \item En déduire les coordonnées du point $H$ puis la distance de
    $A$ à $(P)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


