\begin{exercice}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les points $A(\alpha\,; 0\,; 0)$, $B(0\,; \beta\,; 0)$ et $C(0\,; 0\,; \gamma)$ où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont trois réels. On considère, lorsqu'il existe, le plan $(ABC)$.
\begin{center}
	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=1.75]
	%points
	\coordinate (O) at (0,0); \draw (O) node[below right] {$O$};
	\coordinate (J) at (1,0);
	\coordinate (I) at (\dx,-0.5);
	\coordinate (K) at (0,1);
	\coordinate (A) at (2*\dx,-1); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (3,0); \draw (B) node[above] {$B$};
	\coordinate (C) at (0,2); \draw (C) node[above right] {$C$};
	%vecteurs
	\draw[very thick, ->] (O)--(I); \draw (\dx/2,-0.25) node[above left] {$\vv{i}$};
	\draw[very thick, ->] (O)--(J); \draw (0.5,0) node[above] {$\vv{j}$};
	\draw[very thick, ->] (O)--(K); \draw (0,0.5) node[left] {$\vv{k}$};
	%pointillés
	\draw[dashed] (I)--(A); \draw[dashed] (J)--(B); \draw[dashed] (K)--(C);
	%continuité des droites
	\draw (A)--(2.5*\dx,-1.25); \draw (B)--(3.5,0); \draw (C)--(0,2.5);
	%plans
	\fill[color=A1,opacity=0.3] (A)--(B)--(C);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item À quelle(s) condition(s) sur $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ le plan $(ABC)$ est-il bien défini ?
 
 \item Étude des cas particuliers.
 \begin{enumerate}
  \item Lorsque $\alpha = 0$, $\beta \neq 0$ et $\gamma \neq 0$, décrire le plan $(ABC)$.
  \item Même question lorsque $\beta = 0$ et $\alpha$ et $\gamma$ non nuls.
  \item Même question lorsque $\gamma = 0$ et $\alpha$ et $\beta$ non nuls.
 \end{enumerate}
 
 \item Étude du cas général où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont tous non nuls.\\
 Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
 \[
 \dfrac{x}{\alpha} + \dfrac{y}{\beta} + \dfrac{z}{\gamma} - 1 = 0.
 \]
 \item Expliquer pourquoi l'équation suivante regroupe les différents cas étudiés :
 \[\beta \gamma x + \alpha \gamma y + \alpha \beta z - \alpha\beta\gamma = 0.\]
\end{enumerate}
\end{exercice}
