\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSG3_M_eq_plan_trois_points}\label{TSG3_E_eq_plan_trois_points}]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les trois points $A(-1\,; -1\,; 1)$, $B(1\,; 2\,; -1)$ et $C(0\,; 1\,; 1)$.\\
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$ s'il existe.
\end{exercice*}
\begin{corrige}
$\vv{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vv{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ qui ne sont pas colinéaires donc $(ABC)$ existe. On pose $\vv{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et on obtient
\[
	\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				2a+3b-2c & = & 0\\
				a+2b & = & 0
			\end{array}
	\right.
\]
Donc $a = - 2b$ et $c = - \frac{b}{2}$ d’où, en prenant $b = - 2$,
$\vv{n}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Donc
$(ABC) : 4x-2y+z+d=0$ et avec $A$, on obtient $d=1$.
\end{corrige}

