\begin{exercice}[Distance d'un point à une droite \hfill \tice] \label{TSG3_E_distance_point_droite}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$, on considère les points $A(-1\,; -1\,; 2)$ et $B(1\,; 1\,; 1)$ ainsi que le vecteur $\vv{u} = 2\vv{i} + 3 \vv{j} - \vv{k}$. On note $(d)$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vv{u}$.\\
Soit $M$ un point appartenant à $(d)$. Le but de l'exercice est de déterminer la longueur minimale de $[BM]$ ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette longueur minimale.
\begin{cadre}[A1][A4]
La distance d'un point $B$ à une droite $(d)$ est la plus petite distance $BM$ lorsque $M$ parcourt $(d)$.
\end{cadre}

\begin{enumerate}
 \item Conjecturer la solution à l'aide d'un logiciel.
 \item Donner une représentation paramétrique de $(d)$.
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que répondre au problème posé\linebreak revient à déterminer le minimum, ainsi que la\linebreak valeur pour laquelle il est atteint de :  
   \[t \mapsto 14t^2 - 22t + 9.\]
   \item Répondre alors au problème posé.
   \item Que peut-on alors remarquer concernant la droite $(d)$ et le vecteur $\vv{BM}$ ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

