\begin{exercice} 
  On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté 1.

  \smallskip

  Soient $I$ et $J$ les points tels que
  $\vv{EI} = \dfrac{2}{3}\vv{EF}$ et $\vv{DJ} = \dfrac{2}{3}\vv{DC}$.
\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[below right] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at (2/3*\dx,1-2/3*0.5); \draw (I) node[above left] {$I$};
	\coordinate (J) at (1+2/3*\dx,-2/3*0.5); \draw (J) node[right] {$J$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%plan
	\fill[color=A1, opacity=0.3] (I)--(H)--(J);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-\baselineskip}
On se place dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$. On considère la droite $(\Delta)$, orthogonale au plan $(IHJ)$ et passant par $G$. Elle coupe respectivement les plans $(ABD)$ et $(ADE)$ en $M$ et $N$ dont ou souhaite déterminer les coordonnées.
\begin{enumerate}
 \item Pourquoi $(\Delta)$ est-elle orthogonale aux droites $(IH)$ et $(JH)$ ?
 \item On note $M(x\ ;\ y\ ;\ z)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $z$.
  \item Utiliser l’orthogonalité des droites $(\Delta)$ de $(IJ)$ puis
    de $(\Delta)$ de $(IH)$ afin d’en déduire les valeurs $x$ et de
    $y$.
  \item À quel plan, autre que $(ABD)$, $M$ appartient-il ?
 \end{enumerate}
 
 \item En utilisant la même méthode, déterminer les coordonnées du point $N$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

