\begin{exercice} \label{TSG3_E_orth_cube}
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. Soient $I$ et $J$ les points tels que $\vv{EI} = \dfrac{2}{3}\vv{EF}$ et $\vv{EJ} = \dfrac{1}{3}\vv{EH}$.
\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at (2/3*\dx,1-2/3*0.5); \draw (I) node[above left] {$I$};
	\coordinate (J) at (1/3,1); \draw (J) node[above] {$J$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%droites
	\draw[thin, color=C1] (G)--(J);
	%plan
	\fill[color=A1, opacity=0.3] (I)--(H)--(D);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(GJ)$ est perpendiculaire à $(IH)$.
 \item Démontrer que $(GJ)$ est orthogonale à $(HD)$.
 \item En déduire que $(GJ)$ est orthogonale à $(ID)$.
 \item Démontrer que le point d'intersection entre le plan $(IHD)$ et la droite $(GJ)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{13}\,; \dfrac{7}{13}\,; 1 \right)$ dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
