\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSG3_M_orthogonalite}\label{TSG3_E_orthogonalite}]
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[EH]$ et $K$ le centre de la face $CDHG$.
\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (J) at (0.5,1); \draw (J) node[above] {$J$};
	\coordinate (I) at (\dx+0.5,-0.5); \draw (I) node[below] {$I$};
	\coordinate (K) at ({(2+\dx)/2},0.25); \draw (K) node[right] {$K$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%(CH) et (GD)
	\draw[thin] (C)--(H); \draw[thin] (G)--(D);
	%(AIGJ)
	\fill[color=A1,opacity=0.3,domain=60:90] (A)--(I)--(G)--(J);
	%(FO)
	\draw[thin, color=C1, dashed] (F)--(K);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
Sans utiliser de repère :
\begin{enumerate}
 \item démontrer que les points $A$, $I$, $G$ et $J$ sont coplanaires ;
 \item \begin{enumerate}
  \item démontrer que $(FK)$ est orthogonale à $(IJ)$ ;
  \item démontrer que $(FK)$ est orthogonale à $(AI)$ ;
  \item en déduire que $(FK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice*}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item $\vv{IJ} = \vv{IG} + \vv{GJ} = \vv{IG} + \vv{IA}$ donc $J$ appartient au plan engendré par $I$, $\vv{IG}$ et $\vv{IA}$.
 \item \begin{enumerate}
   \item
     $\vv{FK} \cdot \vv{IJ} = (\vv{FG} + \vv{GK}) \cdot \vv{HC} =
     \vv{FG} \cdot \vv{HC} + \vv{GK} \cdot \vv{HC}$.
     D'une part, $\vv{FG}$ est un vecteur normal au plan $(CDGH)$ donc
     est orthogonal à $\vv{HC}$. D'autre part, $(GK)$ et $(HC)$ sont
     les diagonales d'un carré, donc orthogonales. Ainsi,
     $\vv{FK} \cdot \vv{IJ}= 0$.

   \item
     $\vv{FK} \cdot \vv{AI} = \vv{FK} \cdot \vv{JG} = \vv{FG} \cdot
     \vv{JG} + \vv{GK} \cdot \vv{JG} = 1 \times \frac{1}{2} + \vv{GK}
     \cdot \vv{JH} + \vv{GK} \cdot \vv{HG} = \frac{1}{2} + \vv{GK}
     \cdot \vv{JH} - \frac{1}{2}$.
     Or, $\vv{JH}$ est un vecteur normal au plan $(CDGH)$ donc
     orthogonal à $\vv{GK}$. Ainsi, $\vv{FK} \cdot \vv{AI} = 0$.

   \item $(FK)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan
     $(AIG)$, donc orthogonale à ce plan.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}

