\begin{exercice}
On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté 1. Soit $I$ le centre de la face $EFGH$ et $J$ le milieu de l'arête $[BF]$.
\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above right] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at ({(1+\dx)/2},0.75); \draw (I) node[above] {$I$};
	\coordinate (J) at (\dx,0); \draw (J) node[left] {$J$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	\draw[thin] (E)--(G); \draw[thin] (F)--(H);
	%(CJ) et (CI) et $JI$
	\draw[dashed, color=C1] (C)--(J); \draw[dashed, color=C1] (C)--(I);
	\draw[dashed, color=C1] (J)--(I);
	%angle
	\fill[color=A1,opacity=0.3,domain=-27:46] (J)
						--plot ({\dx+\r*cos(\x)}, {0+\r*sin(\x)})
						--cycle;
	\end{tikzpicture}
\end{center}
On cherche à calculer une mesure de l'angle $\widehat{CJI}$ au degré près.
\begin{enumerate}
 \item Méthode géométrique
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les trois longueurs du triangle $IJC$.
  \item En déduire que $\vv{JC} \cdot \vv{JI} = \dfrac{1}{4}$.
  \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{CJI}$.
 \end{enumerate}
 
 \item Autre méthode géométrique
 \begin{enumerate}
 \item Calculer $\vv{JC} \cdot \vv{JI}$ en décomposant astucieusement
   les deux vecteurs sur les arêtes du cube.
  \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{CJI}$.
 \end{enumerate}
 
 \item Méthode analytique
 \begin{enumerate}
  \item En se plaçant dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$, calculer analytiquement $\vv{JC} \cdot \vv{JI}$.
  \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{CJI}$.
 \end{enumerate}
 
 \item Quelle est la méthode :
 \begin{enumerate}
  \item qui demande le moins / le plus de connaissances théoriques ?
  \item la moins / la plus rapide ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

