\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSG3_M_calcul_angle}\label{TSG3_E_calcul_angle}]
On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté 1 et de centre $O$.
\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (O) at ({(1+\dx)/2},0.25); \draw (O) node[above] {$O$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%(BH) et (EC)
	\draw[thin, color=C1, dashed] (B)--(H); \draw[thin, color=C1, dashed] (E)--(C);
	%angle
	\fill[color=A1,opacity=0.3,domain=228:291] (O)
						--plot ({(1+\dx)/2+\r*cos(\x)}, {0.25+\r*sin(\x)})
						--cycle;
	\draw[color=A1]({(1+\dx)/2},-0.15) node {{\boldmath $\alpha$}};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
Calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle $\alpha =  \widehat{BOC}$ au degré près.
\end{exercice*}
\begin{corrige}
On se place dans le repère orthonormé $(A\,; \vv{AB}, \vv{AD}, \vv{AE})$. Dans ce repère, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $H(0;1;1)$. Ainsi, $O$, milieu de $[BH]$ a pour coordonnées $O\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$, $\vv{OB}\begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}$ et $\vv{OC}\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}$ donc $\vv{OB} \cdot \vv{OC} = 0,25$. De plus, $OB = 0,5\sqrt{3}$ donc $\vv{OB} \cdot \vv{OC} = 0,25 \times 3 \times \cos(\alpha)$ et ainsi, $\cos(\alpha) = \dfrac{1}{3}$ donc $\alpha \approx 71$°.
\end{corrige}
