\begin{exercice}
On considère le cube suivant, d'arête 1, où $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[EH]$ et $[FG]$. Soit $M$ un point appartenant à $[IJ]$.

\begin{center}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,-0.5); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,-0.5); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,0.5); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,0.5); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at (0.5,1); \draw (I) node[above right] {$I$}; \draw (I) node {$\times$};
	\coordinate (J) at (0.5+\dx,0.5); \draw (J) node[above] {$J$}; \draw (J) node {$\times$};
	\coordinate (M) at (0.5+\dx/3,5/6); \draw (M) node[right] {$M$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%IJ, MB et MC
	\draw[thin] (I)--(J);
	\draw[color=B1] (M)--(B); \draw[color=B1] (M)--(C);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour $M \neq J$, les triangles $MJB$ et $MJC$ sont rectangles en $J$.
  \item En déduire que $MB = MC$.
  \item En déduire que $\vv{MB} \cdot \vv{MC} = MB^2 - \dfrac{1}{2}$.
 \end{enumerate}
  
 \item Déterminer la ou les positions du point $M$ pour que $\vv{MB} \cdot \vv{MC}=1$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

