\begin{exercice}
Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $AB=4$, $AD=2$ et $AC=5$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=0.75]
  %points
  \pointFigure{0}{0}{A}{color=black, below left};
  \pointFigure{4}{0}{B}{color=black, below right};
  \pointFigure{4+5/8}{{sqrt(231)/8}}{C}{color=black, above right};
  \pointFigure{5/8}{{sqrt(231)/8}}{D}{color=black, above left};
  %segments
  \draw (0,0)--(4,0)--(4+5/8,{sqrt(234)/8})--(5/8,{sqrt(231)/8})--(0,0);
  \draw (0,0)--(4+5/8,{sqrt(234)/8});
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\vv{AB} \cdot \vv{AD}$.
 \item \begin{enumerate}
   \item En déduire aussi que la mesure de l'angle $\widehat{BAD}$, au
     dixième de degré près.
  \item En remarquant que $BD^2 = \vv{BD}^2$, en déduire que $BD = \sqrt{15}$. 
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item $\vv{AB} \cdot \vv{AD} = \dfrac{1}{2} \left(
 			\left\Vert{}\vv{AB} + \vv{AD}\right\Vert{}^2
 			- \left\Vert{}\vv{AB}\right\Vert{}^2 \right.$\\
 			$\left.- \left\Vert{}\vv{AD}\right\Vert{}^2 \right)
 			= \dfrac{1}{2} \left(
 			5^2	- 4^2 - 2^2 \right) = \dfrac{5}{2}$
 \item \begin{enumerate}
  \item $\vv{AB} \cdot \vv{AD} = AB \times AD \times \cos \widehat{BAD} = 8 \cos \widehat{BAD}$ donc $\cos \widehat{BAD} = \dfrac{5}{16}$ d'où $\widehat{BAD} \approx 71,8$°.
  \item $\vv{BD}^2 = (\vv{BA}+\vv{AD})^2 = BA^2 + 2\vv{BA} \cdot \vv{AD} + AD^2 = 16 - 5 + 4 = 15$ d'où le résultat.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

