\begin{exercice}[Perpendiculaire commune à deux droites \hfill \tice]
Soit $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ un repère orthonormé de l'espace.
Soient $A(-3\ ;\ 4\ ; 5)$ et $B(-4\,; -1\,; -1)$ deux points et $\vv{u}\begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}$ et $\vv{v}\begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}$ deux vecteurs.\\
On considère la droite $(d)$ engendrée par $A$ et $\vv{u}$ ainsi que la droite $(\Delta)$ engendrée par $B$ et $\vv{v}$.\\
On cherche deux points $K$ et $L$ tels que $K \in (d)$, $L \in (\Delta)$ et $(KL)$ soit perpendiculaire à $(d)$ et $(\Delta)$.
\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation dans un logiciel et conjecturer une solution au problème.
 \item On note $\vv{AK} = k\vv{u}$ et $\vv{BL} = l\vv{v}$, où $k$ et $l$ sont des réels. Déterminer les coordonnées de $K$, de $L$ puis de $\vv{KL}$ en fonction de $k$ et $l$.
 \item Démontrer que $(KL)$ est perpendiculaire à $(d)$ et $(\Delta)$ si et seulement si :
 \[
 	\left\lbrace
	\begin{array}{rcc}
		2k - l & = & -3\\
		-3k + 2l & = & 4
	\end{array}
	\right.
 \]
 \item Résoudre ce système puis en déduire les coordonnées des points $K$ et $L$.
 \item Calculer la distance $KL$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
