\begin{exercice}[Distance d'un point à un plan]
Dans un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace, on considère un point $A(x_A\,; y_A\,; z_A)$ et un plan $(\mathscr{P})$ d'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ et de vecteur normal $\vv{n}$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(\mathscr{P})$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma.
  \item Démontrer que si $M$ est un point de $(\mathscr{P})$ distinct de $H$, alors $AM > AH$.
 \end{enumerate}
 
 \item On pose $\vv{AH} = \lambda \vv{n}$.
 \begin{enumerate}
 \item Démontrer que :
   $ \lambda = -\dfrac{ax_A + by_A + cz_A +
     d}{\left\Vert{}\vv{n}\right\Vert{}^2}$

 \item En déduire une expression de $AH$ en fonction des coordonnées
   de $A$, des coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ et de
   $\left\Vert{}\vv{n}\right\Vert{}$.
 \end{enumerate}
 
 \item Application.\\
 On reprend la figure de l'exercice \RefExercice{TSG3_E_eq_plan_trois_points_cube} où une équation cartésienne de $(FHI)$ est $3x+3y+2z-5=0$.\\Déterminer les distances des points suivants au plan $(FHI)$ :
 \begin{colenumerate}{4}
 \item $G$ ;
 \item $A$ ;
 \item $B$ ;
 \item $D$.
 \end{colenumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
