\begin{exercice}[Projection orthogonale sur un plan]
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$.

\partie[]

\vspace{-2mm}

Dans chacun des cas suivants, déterminer si $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(\mathscr{P})$ :
\begin{enumerate}
 \item $(\mathscr{P})$ a pour équation $-2x+3y-z+8=0$ ;
 \begin{enumerate}
  \item $A(2\,; 2\,; -4)$ et $H(4\,; -1\,; -3)$ ;
  \item $A(0\,; 4\,; -4)$ et $H(2\,; 1\,; -3)$.
 \end{enumerate}
 
 \item $(\mathscr{P})$ a pour équation $7x-5y-6z+1=0$ ;
 \begin{enumerate}
  \item $A(-5\,; 5\,; 1)$ et $H(9\,; -5\,; 13)$ ;
  \item $A(7\,; -6\,; 7)$ et $H(0\,; -1\,; 1)$.
 \end{enumerate}
 
 \item $(\mathscr{P})$ a pour équation $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{4}z-\dfrac{1}{5}=0$ ;
 \begin{enumerate}
  \item $A(7\,; -2\,; 4)$ et $H\left(4\,; 0\,; \dfrac{5}{2}\right)$ ;
  \item $A\left(-5\,; 5\,; -\dfrac{43}{15}\right)$ et $H\left(1\,; 1\,; \dfrac{2}{15}\right)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[]

\vspace{-2mm}
Déterminer, dans chacun des cas suivants, les coordonnées de $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur $(\mathscr{P})$ :
\begin{enumerate}
 \item $(\mathscr{P}) : x+y+z-1=0$ et $A(1\,; 1\,; 1)$ ;
 \item $(\mathscr{P}) : 2x-3y+4z-5=0$ et $A(1\,; 2\,; 3)$ ;
 \item $(\mathscr{P}) : -x-2y+11z+5=0$ et $A(-1\,; -4\,; 3)$ ;
 \item $(\mathscr{P}) : ax+by+cz+d=0$ et $A(\alpha\,; \beta\,; \gamma)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

