\begin{exercice}[Distance d'un point à une droite]
Dans un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace, on considère les points $A(x_A\,; y_A\,; z_A)$ et $B(x_B\,; y_B\,; z_B)$ ainsi que le vecteur $\vv{u} = \alpha \vv{i} + \beta \vv{j} + \gamma \vv{k}$.\\
On note $(d)$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vv{u}$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(d)$.\\
 Démontrer que si $M$ est un point de $(d)$ autre que $H$ alors $BM > BH$.
 
 \item On note $H(x\,; y\,; z)$.
 \begin{enumerate}
  \item Après avoir écrit une représentation paramétrique de $(d)$, et en utilisant le fait que $H \in (d)$, démontrer que la valeur du paramètre permettant d'obtenir les coordonnées du point $H$ est $t = \dfrac{\vv{u} \cdot \vv{AB}}{\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}^2}$.
  \item Il s'agit maintenant de calculer $BH$. Est-ce une bonne idée ?
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item En exprimant astucieusement $\vv{u} \cdot \vv{AB}$, démontrer que $AH = \dfrac{\left| \vv{u} \cdot \vv{AB} \right| }{\left\Vert{}\vv{u}\right\Vert{}}$.
  \item En déduire une expression de $BH$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

