\begin{exercice}[Produit vectoriel]
Dans un repère orthonormé direct $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace, on considère les vecteurs non nuls et non colinéaires $\vv{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et $\vv{v}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$. On cherche les coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ d'un vecteur $\vv{n}$, orthogonal à $\vv{u}$ et $\vv{v}$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $x$, $y$ et $z$ satisfont le système :
 \[
 	\left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				ax + by + cz & = & 0\\
				\alpha x +\beta y + \gamma z & = & 0
			\end{array}
	\right.
 \]
 \item Résoudre ce système en prenant $z$ comme paramètre, c'est-à-dire en exprimant $x$ et $y$ en fonction de $z$.
 \item En déduire, en choisissant judicieusement une valeur de $z$,
   que
   $\vv{n} \begin{pmatrix} b\gamma - c\beta \\ c\alpha - a\gamma \\
     a\beta - b\alpha \end{pmatrix}$
   est une solution du problème posé.
 \begin{cadre}[A1][A4]
On dit que ce $\vv{n}$ est le produit vectoriel de $\vv{u}$ et $\vv{v}$ (dans cet ordre) et on note $\vv{n} = \vv{u} \wedge \vv{v}$.
 \end{cadre}
 \item Calculer $\vv{v} \wedge \vv{u}$. Que remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

