\begin{activite}[Équation cartésienne][\tice]
En Première S, on a démontré que dans un repère $(O\,; \vv{i}, \vv{j})$ du plan, une droite est caractérisée par une équation du type $ax+by+c=0$, où $a$ et $b$ ne sont pas simultanément nuls.\\
On a ensuite vu, au chapitre \textcolor{PartieGeometrie}{\textbf{\textsf{G2}}}, qu'une droite de l'espace n'est plus du tout caractérisée de la même façon puisqu'elle est caractérisée dans un repère $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ par une représentation paramétrique du type :
\[
	\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x & = & x_A + \alpha t\\
			y & = & y_A + \beta t\\
			z & = & z_A + \gamma t
		\end{array},
	\right.
	\; t \in \mathbb{R}
\]
où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ ne sont pas simultanément nuls et $x_A$, $y_A$ et $z_A$ sont les coordonnées d'un point de la droite.\\
On peut alors légitimement se poser la question suivante : \og Que caractérise une équation du type $ax+by+cz+d=0$, avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls ? \fg{}

\begin{partie}[Expérimentation]
On se place dans un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace et on considère l'ensemble $(\mathscr{E})$ des points $M(x\,; y\,; z)$ tels que :
\[2x - 3y + z - 1 = 0.\]
\begin{enumerate}
 \item On se place dans le plan d'équation $z=0$.
 \begin{enumerate}
%  \item Quel est le plan dans lequel tous les points ont une cote nulle ?
  \item Dans ce plan, décrire le plus précisément possible l'ensemble de points que représente l'équation $2x-3y-1=0$.
  \item Représenter cet ensemble de points en utilisant un logiciel de géométrie dynamique qui propose une vision 3D.\\Ci-dessous, les menus utilisés pour obtenir cette figure avec le logiciel CaRMetal, ainsi qu'une capture de la figure obtenue.
  
  \vspace{-0.5em}
  
  \begin{multicols}{2}
  \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.5]{vue_avion_cm.eps}
  \end{center}
  \columnbreak
  \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.25]{point_vecteur_cm.eps}
  \end{center}
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
 \vspace{-0.5em}
 
 \item Adopter la démarche de la question \textcolor{ActiviteItemColor}{\textbf{1)}} :
 \begin{enumerate}
  \item dans le plan d'équation $y=0$, en \og vue de gauche \fg{} ;
  \item dans le plan d'équation $x=0$, en \og vue de face \fg{}.
 \end{enumerate}
 
 \item Que semblent définir ces trois droites ? Trois droites étaient-elles nécessaires ? Combien de droites suffisaient ?
 \item Si on procède par analogie avec les équations de droites dans le plan, que pourrait représenter le vecteur ayant pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ?\\
 Représenter ce vecteur afin de donner du poids à cette conjecture.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Démonstration]
Soient $A(-1\,; -1\,; 0)$, $B(1\,; 0\,; -1)$ et $C(0\,; 1\,; 4)$ trois points appartenant à $(\mathscr{E})$.\\
On note $(\mathscr{P})$ le plan passant par $A$ et dirigé par $\vv{u} = \vv{AB}$ et $\vv{v} = \vv{AC}$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Donner une représentation paramétrique de $(\mathscr{P})$.
  \item En déduire que si $M \in (\mathscr{P})$, alors $M \in (\mathscr{E})$.
 \end{enumerate}
 
 \item Démontrons maintenant la réciproque.
 \begin{enumerate}
  \item Énoncer cette réciproque. (Pour les questions suivantes, on se placera sous les hypothèses données dans cette réciproque.)
  \item Expliquer pourquoi l'on peut écrire que :
  \[2x - 3y + z - 1 = 2\times (-1) - 3 \times (-1) + 0 - 1.\]
  \item Déterminer les coordonnées d'un vecteur non nul $\vv{n}$ tel que $\vv{n} \cdot \vv{AM} = 0$.
  \item Conclure.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\vspace{-1em}
\end{activite}

