\begin{activite}[Caractérisation normale d'un plan]

\begin{partie}[En théorie]
Dans un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace, on considère un plan $(\mathscr{P})$ passant par un point $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vv{u}$ et $\vv{v}$.\\
Soit $\vv{n}$ un  vecteur non nul, simultanément orthogonal à $\vv{u}$ et $\vv{v}$.
\begin{enumerate}
 \item
   \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $\vv{n}$ est aussi orthogonal à tout vecteur
     $\vv{w}$ de $(\mathscr{P})$.
 
   \item En déduire que si $M$ est un point de $(\mathscr{P})$, alors
     $\vv{n} \cdot \vv{AM} = 0$.
   \end{enumerate}
 \item Démontrons maintenant la réciproque.
 \begin{enumerate}
  \item Énoncer cette réciproque.
  \item Soit $M$ un point de l'espace.\\
  \parbox[b][8em][t]{0.40\textwidth}{\vspace{0.5em} On considère le point $H$, projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(\mathscr{P})$.\\
  Démontrer, en calculant $\vv{n} \cdot \vv{AM}$, que si ${\vv{n} \cdot \vv{MA} = 0}$, alors $HM = 0$ puis en déduire que $M \in (\mathscr{P})$.}
  \parbox[b][8em][t]{0.35\textwidth}{\vspace{-3.5em}
    \hspace*{5mm}
	\def \dy {1}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=0.4]
	%Plan
	\draw[color=G2, fill=G4] (-6,-3)--(6,-3)--(10,3)--(-2,3)--cycle;
	\draw[color=G1] (-6,0) node {{\boldmath $(\mathscr{P})$}};
	%n
	\draw[color=G1, ->] (-2,0)--(-2,4);
	\draw[color=G1] (-2,4) node[above] {{\boldmath $\vv{n}$}};
	%u
	\draw[color=B1, ->] (-2,0)--(3,2);
	\draw[color=B1] (3,2) node[above] {{\boldmath $\vv{u}$}};
	\def \dx {0.7};
	\draw (-2,0+\dy)--(-2+\dx,0+2/5*\dx+\dy)--(-2+\dx,0+2/5*\dx);
	%v
	\draw[color=B1, ->] (-2,0)--(-1,-2);
	\draw[color=B1] (-1,-2) node[below] {{\boldmath $\vv{v}$}};
	\def \dx {0.5};
	\draw (-2,0+\dy)--(-2+\dx,0-2*\dx+\dy)--(-2+\dx,0-2*\dx);
	%AH et HM
	\draw[color=D1] (-2,0)--(6,-1);
	\draw[color=D1, dashed] (6,-1)--(6,6);
	\draw (-2,0) node[left] {$A$};
	\draw (6,-1) node[below] {$H$};
	\draw (6,6) node[above] {$M$}; \draw (6,6) node {$\times$};
	\def \dx {0.6};
	\draw (6,-1+\dy)--(6-\dx,-1+1/8*\dx+\dy)--(6-\dx,-1+1/8*\dx);
	\end{tikzpicture}
}
 \end{enumerate}
 \item Énoncer la propriété démontrée.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[En pratique]

\end{partie}
Dans un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$ de l'espace, on considère le plan $(\mathscr{P})$ de représentation paramétrique :
\[
	\left\lbrace
		\begin{array}{ccl}
			x & = & -1 + 2s + t\\
			y & = & -1 + s + 2t\\
			z & = & -s + 4t
		\end{array},
	\right.
	\; s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}
\]
\begin{enumerate}
 \item Donner les coordonnées d'un point $A$ appartenant à $(\mathscr{P})$ ainsi que celles de deux vecteurs directeurs de $(\mathscr{P})$, que l'on notera $\vv{u}$ et $\vv{v}$.
 \item On cherche les coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ d'un vecteur $\vv{n}$ qui soit orthogonal à la fois à $\vv{u}$ et à $\vv{v}$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que les réels $a$, $b$ et $c$ satisfont le système suivant, que l'on note $(\mathscr{S})$ :
  \[
  	(\mathscr{S}) :
  	\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			2a + b - c & = & 0\\
			a+  2b + 4c & = & 0
		\end{array}
	\right.
  \]
  \item Démontrer les équivalences suivantes :
  \[
  	(\mathscr{S})
  	\iff
  	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			2a + b - c & = & 0\\
			-2a - 4b - 8c & = & 0
		\end{array}
	\right.}
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			2a + b - c & = & 0\\
			- 3b - 9c & = & 0
		\end{array}
	\right.}
	\iff
	{\left\lbrace
		\begin{array}{ccc}
			a & = & 2c\\
			b & = & -3c
		\end{array}
	\right.}
  \]
  
  \item En déduire la forme générale du vecteur $\vv{n}$, pour $c \in \mathbb{R}^{*}$ puis, en choisissant judicieusement une valeur de $c$, donner un vecteur $\vv{n}$ particulier.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{activite}
