\begin{TP}[Plan tangent à une surface][\tice]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère la surface, notée $(\mathscr{S})$, d'équation $z=x^2+y^2$. On souhaite déterminer l'équation cartésienne du plan $(\mathscr{T})$, tangent à $(\mathscr{S})$ au point $A(1\,; 1\,; 2)$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $A$ appartient bien à $(\mathscr{S})$.
 
 \item On se place dans le plan $(\mathscr{P})$ d'équation $x=1$.
 \begin{enumerate}
  \item Peut-on donner une équation de ce plan sous la forme $z=\ldots$ ? Si non, donner une représentation paramétrique de ce plan.
  \item On note $(\mathscr{C})$ la courbe intersection de $(\mathscr{P})$ et $(\mathscr{S})$.
  Démontrer qu'une équation de $(\mathscr{C})$ dans le plan $(\mathscr{P})$ est $z = 1+y^2$.
  \item Expliquer pourquoi, dans l'espace, $z=1+y^2$ n'est pas une équation de $(\mathscr{C})$. Déterminer une équation paramétrique de $(\mathscr{C})$.
  \item Voici une capture d'écran du logiciel Maxima, permettant de représenter graphiquement $(\mathscr{S})$, $(\mathscr{P})$ et $(\mathscr{C})$ :
  \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.4]{tp_plan_tangent.eps}
  \end{center}
  Recopier et expliquer chacune des intructions.
  \item Démontrer que dans $(\mathscr{P})$, une équation de $(d_x)$, tangente à $(\mathscr{C})$ au point $A$, est $z=2y$.
  \item Donner une représentation paramétrique de $(d_x)$ et la représenter avec le logiciel.
 \end{enumerate}
 
 \item Reprendre le raisonnement précédant dans le plan $(\mathscr{Q})$ d'équation $y=1$.\\
 On notera $(d_y)$ la tangente obtenue.
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le point $A$ et les deux droites $(d_x)$ et $(d_y)$ définissent bien un plan.
  \item Donner une équation cartésienne de ce plan, sous la forme $z = \ldots$
  \item Représenter ce plan ainsi que $(\mathscr{S})$ et observer que ce plan est bien le plan $(\mathscr{T})$ recherché.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{-1em}
\end{TP}

