\begin{TP}[Aire minimale][\tice]

\partie{Étude théorique}
\begin{minipage}{.4\linewidth}
  \raisebox{2.75cm}{\parbox{\linewidth}{Notons $H$ la projection orthogonale de $C$ sur $(OM)$.}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.55\linewidth}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.2]{tp_aire_min.eps}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
 \item Déterminer une équation paramétrique de la droite $(AB)$ (on notera $t$ le paramètre) puis en déduire les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.
 
 \item \begin{enumerate}
   \item Déterminer une équation paramétrique la plus simple possible
     de la droite $(OM)$ (on notera $s$ le paramètre).
  \item En déduire que les coordonnées du point $H$ sont :
  \[
  H\left((5-t)s \,; 2ts \,; 0 \right) \quad \text{où} \quad s = \dfrac{2}{t^2-2t+5}
  \]
 \end{enumerate}
 
 \item On note $f : t \mapsto \mathscr{A}_{OMC}$.
 \begin{enumerate}
  \item Après avoir exprimé sucessivement la base $OM$ et la hauteur $CH$ du triangle $OMC$ en fonction de $t$, déterminer une expression de $f(t)$.\\
  On pourra s'aider d'un logiciel de calcul formel.
  \item Établir le tableau de variation de $f$.
  \item En déduire les coordonnées des points $H$ et $M$ minimisant l'aire du triangle $OMC$, ainsi que cette aire.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}

\end{TP}

