\section{Représentation paramétrique de droites et de plans}

\begin{propriete}
  Dans un repère $(O\ ;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on
  considère la droite $\mathscr{D}$ passant par $A(x_A\ ;y_A\ ;z_A)$
  et de vecteur directeur
  $\vec{u} \begin {pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$.

  $M(x;y;z)\in \mathscr{D}$ si et seulement si il existe un réel $t$
  tel que :
  \begin{center}
    $\begin{cases}x=x_A+t\alpha \\y=y_A+t\beta
      \\z=z_A+t\gamma \end{cases}$
  \end{center}
\end{propriete}

\begin{preuve}
  $M(x;y;z)\in \mathscr{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$
  et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel $t$
  tel que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$.  Cela se traduit
  en terme de coordonnées par :

  $\begin{cases}x-x_A=t\alpha \\y-y_A=t\beta
    \\z-z_A=t\gamma \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_A+t\alpha
    \\y=y_A+t\beta \\z=z_A+t\gamma \end{cases}$
\end{preuve}

