\begin{propriete}[Caractéristique]
  \begin{minipage}{.45\linewidth}
    $A$, $B$ et $C$ étant trois points non alignés de l'espace, le
    plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que :

    $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,
    avec $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels.

    On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dirigent
    le plan $(ABC)$.
  \end{minipage}\quad
  \begin{minipage}{.45\linewidth}
    \includestandalone{\standalonepath{veccoplanaires2}}
  \end{minipage}
\end{propriete}


\begin{preuve}
  $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Les vecteurs
  $\overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ n'étant pas
  colinéaires, $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est donc
  un repère du plan $(ABC)$.
  \begin{itemize}
  \item Si $M$ appartient à $(ABC)$, alors $M$, $A$, $B$ et $C$ étant
    coplanaires, il existe $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels
    que
    $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$.
  \item Réciproquement, si $M$ est un point de l'espace tel que \\
    $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,
    avec $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels, alors il existe un
    point $N$
    de la droite $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AN}=\alpha\overrightarrow{AB}$.\\
    $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow
    \overrightarrow{NM}=\beta\overrightarrow{AC}$.
    $M$ est donc un point de la droite parallèle à $(AC)$ passant par
    $N$. Donc, comme $N\in(ABC)$, $M\in(ABC)$.
  \end{itemize}
\end{preuve}

