\begin{propriete} [Théorème du toit]\label{G2theoremedutoit}
  \begin{minipage}{.45\linewidth}
    Soit $\wp$ et $\wp'$ deux plans distincts, sécants selon une
    droite $\Delta$.

    Si une droite $d$ de $\wp$ est strictement parallèle à une droite
    $d'$ de $\wp'$ alors la droite $\Delta$ intersection de $\wp$ et
    $\wp'$ est parallèle à $d$ et à $d'$.
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{.45\linewidth}
    \includestandalone{\standalonepath{proprieteparallelisme4}}
  \end{minipage}
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Par hypothèse, $\wp\cap\wp'=\Delta$ et $d//d'$. Les droites $d$ et
  $d'$ sont parallèles donc elles sont coplanaires. Donc, il existe un
  plan $Q$ qui contient à la fois $d$ et $d'$. Mais alors $d$ et
  $\Delta$ sont contenues dans $\wp$ et $d'$ et $\Delta$ sont
  contenues dans $\wp'$. Donc : $\wp\cap Q=d$ et $\wp'\cap Q=d'$.

  Montrons que $d//\Delta$.
  Supposons que $d$ et $\Delta$ ne soient pas parallèles. Donc elles
  sont sécantes en un point $A$.

  $A\in d$ et $A\in\Delta$.
  \begin{itemize}
  \item $A\in d$ et $d=\wp\cap Q$ donc $A\in Q$.
  \item $A\in\Delta$ et $\Delta=\wp\cap\wp'$ donc $A\in\wp'$.  D'où
    $A\in Q\cap\wp'=d'$.
  \end{itemize}

  Par conséquent, $A\in d'$ et $A\in d$ et par conséquent, $d$ et $d'$
  sont sécantes en A.
  Ce qui est absurde, contraire à notre hypothèse.

  Les droites $d$ et $\Delta$ sont donc parallèles.  De plus, comme
  $d$ et $d'$ sont parallèles, on en déduit que les droites $d'$ et
  $\Delta$ sont aussi parallèles.  

  \textbf{Conclusion :} L'intersection de $\wp$ et $\wp'$ est une
  droite $\Delta$ parallèle à la fois à $d$ et à $d'$.
\end{preuve}

\begin{remarque}
  Une autre démonstration de ce théorème est proposée dans l'exercice
  \RefExercice{ex71G2}.
\end{remarque}

