\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole -- juin 2014)]
  Dans l'espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces
  $ABC$, $ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles isocèles en
  $A$. On désigne par $E$, $F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés
  $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.

  On choisit $AB$ comme unité de longueur et on se place dans le
  repère orthonormé
  $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$
  de\linebreak l'espace.
  \begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $D$ et $E$.
  \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$.
  \item On désigne par $M$ un point de la droite $(DF)$ et par $t$ le
    réel tel que $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DF}$. On note
    $\alpha$ la mesure principale en radian de l'angle géométrique
    $\widehat{EMG}$.

    Le but de cette question est de déterminer la position du point
    $M$ pour que la mesure de $\alpha$ soit maximale.
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que
      $ME^2=\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4}$.

      \vspace{2mm}

    \item Démontrer que le triangle $MEG$ est isocèle en $M$.\\
      En déduire que :
      $ME \sin(\dfrac{\alpha}{2})=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
    \item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si
      $\sin(\dfrac{\alpha}{2})$ est maximal.

      En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $ME^2$
      est minimal.
    \item Conclure.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

