%Dans toute cette partie, on munit l'espace d'un repère 
%$(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{Methode-5G2}]\label{ex52G2}
  Soit $\Delta$ la droite de représentation paramétrique :

  \begin{center}
    $\begin{cases}x=1-t \\y=-2+3t \\z=-1+t \end{cases}$,
    $t\in\mathbb{R}$
  \end{center}

  Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite
  $\Delta$ avec la droite $d$ de représentation paramétrique :
  \begin{enumerate}
  \item \begin{center}
      $\begin{cases}x=-k \\y=3+2k \\z=4-k \end{cases}$,
      $k\in\mathbb{R}$\\[3mm]
    \end{center}

  \item \begin{center}
      $\begin{cases}x=1+k \\y=-2k \\z=3-k \end{cases}$,
      $k\in\mathbb{R}$\\[3mm]
    \end{center}

  \item \begin{center}
      $\begin{cases}x=k-2 \\y=7-3k \\z=2-k \end{cases}$,
      $k\in\mathbb{R}$
    \end{center}
  \end{enumerate}
\end{exercice*}
\begin{corrige}
  $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-1\ ;\ 3\ ;\ 1)$

\begin{enumerate}
\item  $d$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}(-1\ ;\ 2\ ;\
  -1)$ qui n'est pas colinéaire avec $\overrightarrow{u}$. $\Delta$ et
  $d$ sont donc soit sécantes, soit non coplanaires.

\hspace{-5mm}$\begin{cases}
  x=1-t\\y=-2+3t\\z=-1+t\\x=-k\\y=3+2k\\z=4-k \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
  -k=1-t\\3+2k=-2+3t\\4-k=-1+t\\x=-k\\y=3+2k\\z=4-k \end{cases}\Leftrightarrow$\\
\hspace*{-5mm}$\begin{cases} k=t-1\\-2+3t=1+2t\\4-t+1=-1+t\\x=-k\\y=3+2k\\z=4-k\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} k=2\\t=3\\t=3\\x=-2\\y=7\\z=2 \end{cases}$\\
Les droites $d$ et $\Delta$ sont donc sécantes en $A(-2\ ;\ 7\ ;\ 2)$.
\item $d$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}(1\ ;\ -2\ ;\ -1)$ qui n'est pas colinéaire avec $\overrightarrow{u}$. $\Delta$ et $d$ sont donc soit sécantes, soit non coplanaires.

  \hspace*{-5mm}$\begin{cases}
    x=1-t\\y=-2+3t\\z=-1+t\\x=1+k\\y=-2k\\z=3-k \end{cases}\hspace{-4mm}\Leftrightarrow \begin{cases}
    1+k=1-t\\-2k=-2+3t\\3-k=-1+t\\x=1+k\\y=-2k\\z=3-k \end{cases}\hspace{-4mm}\Leftrightarrow
  \begin{cases} k=-t\\t=2\\3=-1
    !!!\\x=1+k\\y=-2k\\z=3-k \end{cases}$\\
  Le système n'admet pas de solution et les droites $d$ et $\Delta$
  sont donc non coplanaires.
\item $d$ a pour vecteur directeur
  $\overrightarrow{v}(1\ ;\ -3\ ;\ -1)$ qui est pas colinéaire avec
  $\overrightarrow{u}$. $\Delta$ et $d$ sont donc parallèles.
  $B(1\ ;\ -2\ ;\ -1)\in\Delta$. Vérifions si $B\in d$ pour savoir si elles sont confondues :\\
  $\begin{cases} 1=1+k\\-2=-2k\\-1=3-k \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} k=0\\k=1\\k=4 \end{cases}$.\\
  Il n'existe pas de réel $k$ tel que les coordonnées de $B$ vérifient
  le système, donc $B$ n'appartient pas à $d$ et les droites $d$ et
  $\Delta$ sont strictement parallèles.
 \end{enumerate}
\end{corrige}


