%Pour les exercices \RefExercice{G2Exo37} à \RefExercice{G2Exo43}, $ABCDEFGH$ est un cube et $I$ ; $J$ ; $K$
%et $L$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[GH]$, $[AD]$ et $[EH]$.
%
%\begin{center}
%  \includestandalone{\standalonepath/cube2}
%\end{center}

\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{Methode-3G2}]\label{ex37G2}
  On considère les points $M$ et $N$ définis par :

  $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}$

  et 

  $\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FG}$.
  \begin{enumerate}
  \item Construire la figure.
  \item Démontrer que les points $C$, $E$ et $M$ sont alignés.
  \item Démontrer que les points $E$,
    $F$, $H$ et $N$ sont coplanaires.
  \end{enumerate}
\end{exercice*}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item ~\par\vspace{-1cm}
\resizebox{.8\linewidth}{!}{
\begin{pspicture*}(-1.5,-5.76)(6.5,2)
\pspolygon[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](-1.,-1.)(-1.,-5.)(3.,-5.)(3.,-1.)
\pspolygon[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](3.,-5.)(4.,-3.)(4.,1.)(3.,-1.)
\pspolygon[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](0.,1.)(0.,-3.)(4.,-3.)(4.,1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](-1.,-1.)(-1.,-5.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](-1.,-5.)(3.,-5.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](3.,-5.)(3.,-1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](3.,-1.)(-1.,-1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](3.,-5.)(4.,-3.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](4.,-3.)(4.,1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](4.,1.)(3.,-1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](3.,-1.)(3.,-5.)
\psline[linewidth=.3mm,linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=J1](0.,1.)(0.,-3.)
\psline[linewidth=.3mm,linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=J1](0.,-3.)(4.,-3.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](4.,-3.)(4.,1.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](4.,1.)(0.,1.)
\psline[linewidth=.3mm,linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=J1](-1.,-5.)(0.,-3.)
\psline[linewidth=.3mm,linecolor=Noir](-1.,-1.)(0.,1.)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=J1](-1.,-1.)(4.,-3.)
\psline[linecolor=Noir](-1.,-1.)(4.,1.)
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](-1.,-1.)
\rput[bl](-1.38,-1.12){{$E$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](-1.,-5.)
\rput[bl](-1.5,-5.22){{$A$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](3.,-5.)
\rput[bl](3.28,-5.18){{$B$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](3.,-1.)
\rput[bl](3.1,-1.3){{$F$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](4.,-3.)
\rput[bl](4.18,-3.04){{$C$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](4.,1.)
\rput[bl](4.08,1.12){{$G$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){{$H$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=Noir](0.,-3.)
\rput[bl](0.16,-2.94){{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=J1](2.333333333333333,0.33333333333333326)
\rput[bl](2.42,0.46){{$N$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=+,linecolor=J1](0.666666666666667,-1.6666666666666667)
\rput[bl](0.74,-1.54){{$M$}}
\end{pspicture*}
}

\item $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=$\\
$-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+
\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}=$\\
$-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}$ et \\ 
$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CM}$.\\
Donc $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires et 
les points $C$, $E$ et $M$ sont alignés.

\item $\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}$.
Donc $N\in(EFG)$ et les points $E$, $F$, $H$ et $N$ sont coplanaires.
\end{enumerate}
\end{corrige}

