\begin{activite}[Définir une droite ou un plan par un système d'équations]

  \partie[Droite de l'espace]

  Dans un repère $(O\,;
  \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de
  l'espace, on considère une droite $\mathscr{D}$ de vecteur directeur
  $\overrightarrow{u} \begin {pmatrix} 3\\-4\\2 \end{pmatrix}$ et
  passant par le point $A(-6\,;1\,;5)$.\\
  Soit $M(x\,; y\,; z)$ un point de l'espace.

  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Écrire une relation vectorielle traduisant l'appartenance du
      point $M$ à la droite $\mathscr{D}$.

    \item Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées
      $(x\,;y\,;z)$ du point $M$ pour que $M$ appartienne à la droite
      $\mathscr{D}$.
    \end{enumerate}

  \item Reprendre la première question avec $\mathscr{D}$ de vecteur
    directeur
    $\vec{u} \begin {pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$ où
    $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des réels non tous nuls et
    passant par le point $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$.
  \end{enumerate}

  \partie[Plan de l'espace]

  Dans un repère $(O\,;\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on
  considère un plan $\mathscr{P}$ dirigé par les vecteurs
  $\vec{u} \begin {pmatrix} 3\\-4\\2 \end{pmatrix}$  et
  $\vec{v} \begin {pmatrix} 7\\-3\\8 \end{pmatrix}$ et passant par le
  point $A(-6\,; 1\,; 5)$.

  Soit $M(x\,; y\,; z)$ un point de l'espace.

  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Écrire une relation vectorielle traduisant l'appartenance du
      point $M$ au plan $\mathscr{P}$.

    \item Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées
      $(x\,; y\,; z)$ du point $M$ pour que $M$ appartienne au plan
      $ \mathscr{P}$.
    \end{enumerate}

  \item Reprendre la première question avec $\mathscr{P}$ dirigé par
    $\vec{u} \begin {pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$ et
    $\vec{u'} \begin {pmatrix} \alpha'\\\beta'\\\gamma' \end{pmatrix}$
    deux vecteurs non nuls et non colinéaires et passant par le point
    $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$.
  \end{enumerate}
\end{activite}

