\begin{TP}[Étudier les positions relatives à l'aide d'un logiciel de calcul formel]
Dans l'espace muni d'un repère
$(O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on
considère :
\begin{itemize}
\item Le plan $\wp$ de représentation paramétrique \begin{center}
    $\begin{cases}x=-3+2t \\y=7+4t-t' \\z=-1+3t+2t' \end{cases}$ ,
    $t\in\mathbb{R}$ et $t'\in\mathbb{R}$
  \end{center}
\item Le plan $\wp'$ de représentation paramétrique \begin{center}
    $\begin{cases}x=5-t+2t' \\y=2+3t-4t' \\z=1+5t' \end{cases}$ ,
    $t\in\mathbb{R}$ et $t'\in\mathbb{R}$
  \end{center}

\newpage

\item La droite $d_1$ de représentation paramétrique \begin{center}
    $\begin{cases}x=1-2t \\y=3-3t \\z=-5t \end{cases}$ ,
    $t\in\mathbb{R}$
  \end{center}
\item La droite $d_2$ de représentation paramétrique \begin{center}
    $\begin{cases}x=2-3t \\y=9+7t\\z=-4-5t \end{cases}$ ,
    $t\in\mathbb{R}$
  \end{center}
\item le point $A(-1\,;10\,;4)$.
\end{itemize}

\bigskip

\noindent \framebox{1} {\tt resoudre([1-2t=2-3k,3-3t=9+7k,-5t=-4-5k],[t,k]) } \\
\begin{equation} \label{eq:0}
[]
\end{equation}
\noindent \framebox{2} {\tt resoudre([-3+2t=2-3k,7+4t-u=9+7k,-1+3t+2u=-4-5k],[t,u,k]) } \\
\begin{equation} \label{eq:1}
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{16}{17} & -\frac{281}{51} & \frac{53}{51}
\end{array}\right) 
\end{equation}
\noindent \framebox{3} {\tt resoudre([5-t+2u=2-3k,2+3t-4u=9+7k,1+5u=-4-5k],[t,u,k]) } \\
\begin{equation} \label{eq:2}
\left(\begin{array}{ccc}
k+1 & -k-1 & k
\end{array}\right) 
\end{equation}
\noindent \framebox{4} {\tt resoudre([-3+2t=1-2k,7+4t-u=3-3k,-1+3t+2u=-5k],[t,u,k]) } \\
\begin{equation} \label{eq:3}
[]
\end{equation}
\noindent \framebox{5} {\tt resoudre([5-t+2u=1-4k,2+3t-4u=3+3k,1+5u=5k],[t,u,k]) } \\
\begin{equation} \label{eq:4}
\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{24}{11} & -\frac{64}{55} & -\frac{53}{55}
\end{array}\right) 
\end{equation}
\noindent \framebox{6} {\tt resoudre([-3+2t=-1,7+4t-u=10,-1+3t+2u=4],[t,u]) } \\
\begin{equation} \label{eq:5}
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1
\end{array}\right) 
\end{equation}

% {\small
% $
% \begin{array}{ll}
% \multicolumn{1}{c}{\text{Résolution}} & \multicolumn{1}{c}{\text{Résultats}}\\\hline
% ([1 - 2t = 2 - 3k,  3 - 3t = 9 + 7k,  -5t = - 4 - 5k], [t,k]) & []\\
% ([- 3 + 2t = 2 - 3k,  7 + 4t - u = 9 + 7k,  -1 + 3t + 2u = - 4 - 5k], [t,u,k]) & (16/17      -281/51     53/51)\\
% ([5 - t + 2u = 2 - 3k,  2 + 3t - 4u = 9 + 7k,  1 + 5u = - 4 - 5k], [t,u,k]) & (K + 1      - K- 1        k)\\
% ([- 3 + 2t = 1 - 2k,  7 + 4t - u = 3 - 3k,  -1 + 3t + 2u = -5k], [t,u,k]) & []\\
% ([5 - t + 2u = 1 - 4k,  2 + 3t - 4u = 3 + 3k,  1 + 5u = 5k], [t,u,k]) & (- 24/11    - 64/55    - 53/55)\\
% ([- 3 + 2t = - 1,  7 + 4t - u = 10,  -1 + 3t + 2u = 4], [t,u]) & (1    1)\\\hline&
% \end{array}
% $\par}

% \begin{enumerate}
% \item resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([1-2t=2-3k,3-3t=9+7k,-5t=-4-5k],[t,k])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:0} []
%   \end{equation}

% \item   resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([-3+2t=2-3k,7+4t-u=9+7k,-1+3t+2u=-4-5k],[t,u,k])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:1} \left(
%       \begin{array}{ccc} 
%         \frac{16}{17} & -\frac{281}{51} & \frac{53}{51}
%       \end{array}\right) 
%   \end{equation}

% \item   resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([5-t+2u=2-3k,2+3t-4u=9+7k,1+5u=-4-5k],[t,u,k])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:2} \left(
%       \begin{array}{ccc} 
%         k+1 & -k-1 & k
%       \end{array}
%     \right) 
%   \end{equation}
  
% \item   resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([-3+2t=1-2k,7+4t-u=3-3k,-1+3t+2u=-5k],[t,u,k])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:3} []
%   \end{equation}

% \item   resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([5-t+2u=1-4k,2+3t-4u=3+3k,1+5u=5k],[t,u,k])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:4} \left(
%       \begin{array}{ccc}
%         -\frac{24}{11} & -\frac{64}{55} & -\frac{53}{55}
%       \end{array}
%     \right) 
%   \end{equation}

% \item   resoudre
%   \begin{ttfamily}
%     ([-3+2t=-1,7+4t-u=10,-1+3t+2u=4],[t,u])
%   \end{ttfamily}
%   \begin{equation} \label{eq:5} \left(
%       \begin{array}{cc} 
%         1 & 1
%       \end{array}\right) 
%   \end{equation}
% \end{enumerate}

% À l'aide des résultats fournis par la copie d'écran ci-dessus d'un
% logiciel de calcul formel, 

Répondre aux questions suivantes, en
précisant la ligne de la copie d'écran vous permettant de conclure :
\begin{enumerate}
\item Le point $A$ appartient-il au plan $\wp$ ?
\item Déterminer la position relative des droites $d_1$ et $d_2$.
\item Déterminer la position relative de la droite $d_1$ et du plan
  $\wp$.
\item Déterminer la position relative de la droite $d_2$ et du plan
  $\wp$.
\item Déterminer la position relative de la droite $d_1$ et du plan
  $\wp'$.
\item Déterminer la position relative de la droite $d_2$ et du plan
  $\wp'$.
\end{enumerate}
\end{TP}

