\begin{theoreme}
    Soient $z_1=a_1+\ci b_1$ et $z_2=a_2+\ci b_2$ deux nombres complexes :
    $$z_1=z_2
    \Longleftrightarrow \left\lbrace
    \begin{array}{rcl}
        a_1&=&a_2  \\
        b_1&=&b_2\\
    \end{array}\right.
    $$
    L' écriture algébrique d'un nombre complexe est {\bf unique}.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
    
    Soient $z_1=a_1+\ci b_1$ et $z_2=a_2+\ci b_2$ deux complexes tels que $z_1=z_2$.
    $$z_1=z_2\ \iff \  a_1+\ci b_1 =a_2+\ci b_2\  \iff \ a_1-a_2= \ci (b_2-b_1)\ \ \ \ \ \ \ (1) $$
    Raisonnons par l'absurde : si $b_2\neq b_1$ alors $\dfrac{a_1-a_2}{b_2-b_1}=\ci$.
    
    $\dfrac{a_1-a_2}{b_2-b_1}$ étant un réel, on aboutit à une contradiction.
    
    Donc $b_1=b_2$ et on déduit alors de (1) que $ a_1-a_2=0$ donc $a_1=a_2.$
    
    La réciproque est claire.
\end{preuve}
%
\begin{exemple*1}
    Soit $z=2x-1+\ci(3-y)$, $x\in \R$ et $y\in \R$, un complexe.
    
    On a $z=0$ si et seulement si $2x-1=0$ et $3-y=0$ c'est-à-dire $x=\dfrac{1}{2}$ et $y=3$.
\end{exemple*1}

