    \begin{exercice}
        
        \emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées\\ indépendamment.}
        
        Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\Ouv$, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
        
        La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.
        
       \columnbreak
        
        \partie
        
        On considère l'équation
        
        \[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]
        
        où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.
        
        \medskip
        
        \begin{enumerate}
            \item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$.
            \item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère $\Ouv$. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle ${\cal C}$.
        \end{enumerate}
        
% \vspace{1cm}

        \partie
        
        On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par
        
        \[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]
        
        \begin{enumerate}
            \item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
            \item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a
            
            \[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
            \item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :
            $$\begin{array}{@{\bullet~~} l}
                \text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\
                M' \neq \text{A} ;\\
                %\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
            \end{array}$$
            
            \item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P.
            \item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction.
            \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche,
                même\\ incomplète ou d'initiative, même infructueuse,
                sera prise\\ en compte dans l'évaluation.}
            
            Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$.
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
                \item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exercice}

