    \begin{exercice}[D'après Bac (Amérique-du-Nord - 2015)][\algo]
        
      On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier
      naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs
      coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ de la façon suivante:
        \[\left\{\begin{array}{l c l}
            x_0 &=&- 3\\[5mm]
            y_0 &=&\phantom{-}4
        \end{array}\right. \quad
        \]
        et pour tout entier naturel $n$ :
        \[\left\{\begin{array}{l c l}
            \quad
            x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\[5mm]
            y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n
        \end{array}\right.\]
        
        \begin{enumerate}
            \item
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer les coordonnées des points $A_0$,  $A_1$ et $A_2$.
                \item Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant :

\vspace{3mm}
                    
\hspace*{-1cm}\begin{minipage}{1.15\linewidth}
\begin{oldalgorithme}
Variables : 
$i, x, y,  t$ : nombres réels

Initialisation :
$x$ prend la valeur  $- 3$
$y$ prend la valeur 4 

Traitement :
Pour $i$ allant de 0 à 20
 Construire le point de coordonnées $(x~;~y)$
 $t$ prend la valeur $x$
 $x$ prend la valeur \ldots. 
 $y$ prend la valeur  \ldots. 
Fin Pour%
\end{oldalgorithme}
\end{minipage}
            
\vspace{3mm}
    
Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points
$A_0$ à $A_{20}$.

\columnbreak

                \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:
                
                \begin{center}
                    \psset{unit=0.4cm}
                    \begin{pspicture}(-7,-6)(8,6)
                        \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6)
                        %\multido{\n=0+1}{20}{\psdots(5;36.8 \n mul)}
                        \psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53)
                        %(5;107.4)(5;144.27)
                    \end{pspicture}
                \end{center}
                
                Identifier les points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.. %On les nommera sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}.
                
                Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
            \end{enumerate}
            \item Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel.
            
            Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$.
            \begin{enumerate}
                \item Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
                \item On veut démontrer  qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$.
                \begin{enumerate}
                    \item  Démontrer qu'il existe un nombre réel
                    
                    $\theta\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$.
                    \item  Que vaut $\sin(\theta)$ ? Justifier votre réponse.
                \end{enumerate}
                \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ :
                $$\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}.$$
                \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0.$$
                \item Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$.
                \item Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$.
                
                Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exercice}
