\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles - Guyane - 2014)]
        On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
        
        Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\Ouv$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
        
        Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
        
        On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe
        
        \begin{equation*}
            f(z) = z^2 + 2z + 9.
        \end{equation*}
        
        \begin{enumerate}
            \item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
            \item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.
            
            Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
            
            Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).
            
            On laissera les traits de construction apparents.
            \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
            
            Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
            
            \item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie :
            \begin{equation*}
                |f(z) - 8| = 3.
            \end{equation*}
            Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
            
            Tracer (F) sur le graphique.
            \item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \ci y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est
                \begin{equation*}
                    x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).
                \end{equation*}
                \item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
                
                Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
                
                Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
            \end{enumerate}
            \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
        \end{enumerate}
    \end{exercice}

