\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles - Guyane - 2013)][\algo]
        On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \ci$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
        \begin{equation*}
            z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.
        \end{equation*}
        Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \ci b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
        
        Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.
        \partie
        \begin{enumerate}
            \item Donner $a_0$ et $b_0$.
            \item Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
            \item On considère l'algorithme\ suivant:

              \begin{minipage}{1.05\linewidth}
              \begin{oldalgorithme}
Variables: 
  $A$ et $B$ des nombres réels
  $K$ et $N$ des nombres entiers
Initialisation: 
  Affecter à $A$ la valeur 1
  Affecter à $B$ la valeur 1
Traitement:
Entrer la valeur de N
  Pour $K$ variant de 1 à $N$
    Affecter à $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$
    Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$
  FinPour
Afficher A%
              \end{oldalgorithme}
              \end{minipage}

              \columnbreak

            \begin{enumerate}
                \item On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
                \begin{center}
                    \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
                        \hline
                        $K$ & $A$ & $B$ \\\hline
                        1& & \\\hline
                        2& & \\\hline
                    \end{tabularx}
                \end{center}
                \item Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme  par rapport à la situation étudiée dans cet exercice~?
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
        \partie
        \begin{enumerate}
            \item
            Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
            
            En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
            \item Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$~?
            
            En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et\linebreak déterminer  la limite de $\left(b_n \right)$.
            \item
            \begin{enumerate}
                \item On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
                \begin{equation*}
                    \left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.
                \end{equation*}
                Montrer que pour tout entier naturel $n$,
                \begin{equation*}
                    \left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.
                \end{equation*}
                \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$.
                
                Montrer par récurrence que, pour tout entier\linebreak naturel $n$,
                \begin{equation*}
                    u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.
                \end{equation*}
                En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une\linebreak limite que l'on déterminera.
              \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak
                $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la
                suite $\left(a_n \right)$ converge vers\linebreak une
                limite que l'on déterminera.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exercice}
