
    \begin{exercice}[D'après Bac (Asie - 2015)]
        \newcommand{\cj}{\mathrm{j}}
        Le plan est muni du repère orthonormé direct $\Ouv$.
        
        On donne le nombre complexe $\cj = -\dfrac{1}{2} + \ci\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
        
        Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre $\cj$ et de mettre en évidence un
        lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
        \partie

        \vspace{-\baselineskip}
        \begin{enumerate}
            \item
            \begin{enumerate}
                \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres
                  complexes l'équation :

%                \begin{equation*}
                  \centerline{$z^2 + z + 1 = 0.$}
%                \end{equation*}
                \item Vérifier que le nombre complexe $\cj$ est une solution de cette équation.
            \end{enumerate}
            \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\cj$, puis donner sa forme
            exponentielle.
            \item Démontrer les égalités suivantes:
            \begin{enumerate}
                \item $\cj^3 = 1$ ;
                \item\label{q|exobacasie1} $\cj^2 = - 1 - \cj$.
            \end{enumerate}
            \item On note $P$, $Q$, $R$ les images respectives des nombres complexes $1$, $\cj$ et $\cj^2$ dans le plan.
            
            Quelle est la nature du triangle $PQR$ ? Justifier la réponse.
        \end{enumerate}
        \partie
        Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+\cj b + \cj^2 c = 0$.
        
        On note $A$, $B$, $C$ les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.
        \begin{enumerate}
            \item En utilisant la question A) \ref{q|exobacasie1}, démontrer l'égalité : $ a - c = \cj(c - b)$.
            \item En déduire que $AC = BC$.
            \item Démontrer l'égalité : $a - b = \cj^2 (b - c)$.
            \item En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.
        \end{enumerate}
    \end{exercice}

